Transporte paralelo

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Em matemática, transporte paralelo é a generalização para espaços curvos do processo de comparação entre vetores, pertencentes a feixes tangentes diferentes.

Para entender a necessidade do transporte paralelo, imagine uma bola, e dois vetores tangentes em dois pontos separados desta bola. Como vc responderia a pergunta: qual a diferença entre estes dois vetores? Ou sua soma? Para compara-los seria necessário transportar um dos vetores até o outro e compara-los. Neste caso o processo de transporte poderia causar algum tipo de mudança no vetor e portanto nem todo tipo de transporte serve.

O tipo mais comum de transporte paralelo tem como regra realizar o transporte da seguinte forma: trace um caminho do ponto do vetor A até o ponto do vetor B. Movimente o vetor A um pouco (um delta) e corrija a direção para mante-lo paralelo ao vetor original, repita isto até chegar a B.

Calcule a diferença no final. Se você fizer isto em um plano, com qualquer caminho mesmo que não seja um linha reta entre os pontos você vai terminar com os vetores no ângulo esperado. Em geometrias curvas o mesmo processo pode ser realizado. Com exceção de um probleminha. Caminhos diferentes darão resultados diferentes. Isto é um resultado fundamentalmente importante, pois é o primeiro sintoma de que a geometria que estamos analisando possui curvatura. Mais ainda a diferença é proporcional à curvatura na região entre os caminhos escolhidos. Devido a este resultado o transporte paralelo tem papel fundamental no estudo destas geometrias.

[editar] Definição

A derivada de um vetor ao longo de uma curva em uma variedade fornece a ferramenta para definir o transporte paralelo de vetores nesta variedade. Um vetor é transportado paralelamente sobre uma curva $x (λ)$ se sua derivada covariante sobre a curva é zero:

$\nabla_{U}V=0$

Onde $U$ é o vetor tangente à curva:

$U= {d \over d \lambda} x(\lambda)$

O argumento dado na introdução, de que o transporte paralelo é feito de forma a manter o vetor paralelo ao vetor original, deslocado-o infinitesimalmente do ponto original, é portanto equivalente a dizer:

${ \frac{}{} }V(\lambda) - V(\lambda + \delta \lambda) = O(\lambda^2)$