Paralelní přenos

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Paralelní přenos označuje v geometrii způsob přenosu geometrických informací podél hladkých křivek na varietě.

Obsah

1 Paralelní přenos vektoru po ploše
2 Paralelní přenos vektoru v Riemannově prostoru
3 Paralelní přenost tenzoru v Riemannově prostoru
4 Podívejte se také na

[editovat] Paralelní přenos vektoru po ploše

Uvažujme dva paralelní vektory ve dvou blízkých bodech plochy. Uvažujme, co se stane, když tyto dva vektory přeneseme podél určitých křivek do do jednoho společného bodu. V takovém případě může dojít k tomu, že přenesené vektory již nebudou paralelní.

K paralelnímu přenosu po ploše.

Pokud je odchylka přenosu nulová, je vnitřní geometrie plochy rovinná. Na křivé ploše to však neplatí. Předchozí tvrzení lze formulovat také tak, že geometrie plochy je rovinná, je-li odchylka při paralelním přenosu vektoru po uzavřené dráze nulová.

Podobné tvrzení platí pro libovolný Riemannův prostor. Je-li při paralelním přenosu vektoru odchylka po uzavřené dráze nulová, pak říkáme, že prostor je plochý.

Na křivé ploše je vnitřní geometrie určena metrickým tenzorem plochy $g A B$ . Uvažujme plochu, na níž jsou definovány souřadnice $x A$ , kterou lze v (kartézském) prostoru zapsat vztahem $y i = y i (x A)$ . V určitém bodě této plochy nechť je vektor $T i$ , který nemusí ležet v ploše, ale může směřovat do okolního prostoru. Tento vektor lze rozložit na složku $T_\perp^i$ , která je v daném bodě kolmá k ploše a složku $T_{\|}^i$ , která leží v tečné rovině plochy v daném bodě, tzn.

$T^i = T_\perp^i + T_{\|}^i$

Označíme-li tečné vektory souřadnicových čar $Y_A^i$ , pak platí

$T_{\|}^i = T_{\|}^A Y_A^i$

$\delta_{ik}T_\perp^i Y_B^k = 0$

Z těchto vztahů dostaneme

$\delta_{ik} T^i Y_B^k = \delta_{ik} T_{\|}^i Y_B^k = \delta_{ik} T_{\|}^A Y_A^i Y_B^k = g_{AB} T_{\|}^A$

odkud plyne

$T_{\|}^A = g^{AB}\delta_{ik} T^i Y_B^k$

Složky vektoru v prostoru jsou tedy určeny složkami vektoru v ploše jako

$T^i = T^C Y_C^i$

Při paralelním přenosu z $x$ do bodu $x + d x$ dochází ke změně složek vektoru podle

$T_{\|}^A(x+\mathrm{d}x) = g^{AB}(x+\mathrm{d}x) Y_B^k(x+\mathrm{d}x) \delta_{ik} T^i = g^{AB}(x+\mathrm{d}x) Y_B^k(x+\mathrm{d}x) \delta_{ik} Y_C^i(x) T^C$

Upravíme tento vztah pomocí $Y_C^i(x)\approx Y_C^i(x+\mathrm{d}x-\mathrm{d}x)\approx Y_C^i(x+\mathrm{d}x) - Y_{CD}^i(x+\mathrm{d}x)\mathrm{d}x^D \approx Y_C^i(x+\mathrm{d}x) - Y_{CD}^i(x)\mathrm{d}x^D$ , kde $Y_{CD}^i = \frac{\part^2 y^i}{\part x^C \part x^D}$ , a zanedbáme všechny členy vyššího řádu v $d x$ , dostaneme

$T_{\|}^A(x+\mathrm{d}x) = g^{AB}(x+\mathrm{d}x)g_{BC}(x+\mathrm{d}x)T^C - g^{AB}(x)Y_B^k(x)Y_{CD}^i(x)\delta_{ik}T^C\mathrm{d}x^D = T^A - g^{AB}Y_B^k Y_{CD}^i \delta_{ik} T^C \mathrm{d}x^D$

Derivací metrického tenzoru $g C D$ je možné získat pro afinní konexi výraz

$\Gamma_{BCD} = \frac{1}{2}(-g_{CD,B}+g_{DB,C}+g_{BC,D}) = \delta_{ki}Y_B^k Y_{CD}^i$

Použitím tohoto výrazu pak získáme

$T_{\|}^A = T^A - \Gamma_{\,CD}^B T^C \mathrm{d}x^D$

Při paralelním přenosu z $x$ do $x + d x$ se tedy složky vektoru $T A$ změní o

$T_{\|}^A - T^A = -\Gamma_{\,BC}^A T^B \mathrm{d}x^C$

Paralelní přenos je tedy určen metrikou plochy prostřednictvím afinních konexí $\Gamma_{\,BC}^A$ .

[editovat] Paralelní přenos vektoru v Riemannově prostoru

Paralelní přenos vektoru po ploše je speciálním případem paralelního přenosu vektoru v Riemannově prostoru.

Předpokládejme, že vektoru $T$ v bodě $x$ má být paralelním přenosem podél křivky $x = x (u)$ do $x + d x$ jednoznačně přiřazen vektor $T_{\|}$ . Omezíme-li se pouze na lineární členy v $d x$ , pak pro kontravariantní vektor platí

$\mathrm{d}_{\|}T^\iota = -\Gamma_{\,\kappa\lambda}^(x^\mu)T^\kappa\mathrm{d}x^\lambda$

$\frac{\mathrm{d}T_{\|}^\iota(u)}{\mathrm{d}u} + \Gamma_{\,\kappa\lambda}^\iota(x(u)) T_{\|}^\kappa(u) \frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u} = 0$

s podmínkou $T_{\|}^\iota(u_0)=T^\iota$ .

Paralelní přenos je tedy opět určen afinnímí konexemi $\Gamma_{\,\kappa\lambda}^\iota(x^\mu)$ .

[editovat] Paralelní přenost tenzoru v Riemannově prostoru

Při paralelním přenosu vektoru se zachovává nejen norma, ale také skalární součin, z čehož plyne, že se zachovává také úhel mezi vektory. Toho lze využít při vyjádření vztahu pro paralelní přenos tenzoru.

Pro paralelní přenos tenzoru $T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots}$ pak dostáváme diferenciální rovnici

$\frac{\mathrm{d}T_{\|\,\iota\cdots}^{\kappa\cdots}}{\mathrm{d}u} - T_{\|\,\rho\cdots}^{\kappa\cdots} \Gamma_{\,\iota\sigma}^\rho \frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}u} - \cdots + T_{\|\,\iota\cdots}^{\rho\cdots} \Gamma_{\,\rho\sigma}^\kappa \frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}u} + \cdots = 0$

V diferenciálním tvaru předchozí rovnici vyjádřit jako

$\mathrm{d}_{\|}T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots} = T_{\rho\cdots}^{\kappa\cdots} \Gamma_{\,\iota\sigma}^\rho \mathrm{d}x^\sigma + \cdots - T_{\iota\cdots}^{\rho\cdots} \Gamma_{\,\rho\sigma}^\kappa \mathrm{d}x^\sigma - ...$