Аксиоматика теории множеств
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.
Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.
К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).
Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.
Эти аксиомы были разработаны Торальфом Сколемом (Thoralf Skolem) в 1922 году, и являются развитием системы аксиом Адольфа Френкеля (Adolf Fraenkel), которая, в свою очередь, была развитием системы аксиом Эрнста Цермело (Ernst Zermelo).
[править] Аксиомы ZFC
1. Аксиома объёмности. Два множества a и b равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.
2. Аксиома пустого множества. Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается {} или 
.
3. Аксиома пары. Для любых множеств a и b существует множество c такое, что a и b являются его единственными элементами. Множество c обозначается {a,b} и называется неупорядоченной парой a и b. Если a = b, то c состоит из одного элемента.
4. Аксиома объединения. Для любого семейства a множеств существует множество 
, называемое объединением множества a, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества a.
5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве 
имеется элемент, не принадлежащий a, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела). Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент 
) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.
6. Схема выделения. Любому множеству a и свойству 
отвечает множество b, элементами которого являются те и только те элементы a, которые обладают свойством . Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула 
логики первого порядка порождает аксиому.
7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества a существует множество b, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества a. Множество подмножеств множества a обозначается .
Если ввести отношение подмножества 
, то эту формулу можно упростить.
8. Схема подстановки. Пусть 
— такая формула, что при любом x0 из множества X существует, и притом единственный, объект y0 такой, что выражение 
истинно. Тогда объекты c, для каждого из которых существует d из X такой, что 
истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула порождает аксиому.
9. Аксиома основания. Каждое непустое множество s содержит элемент a такой, что 
.
10. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество c такое, что, каково бы ни было множество x данного семейства, множество 
состоит из одного элемента.
Непротиворечивость приведённой аксиоматики на настоящий момент не установлена.
[править] См. также
[править] Литература
- Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
- Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.
- Аксиоматика теории множеств на PlanetMath
