Гамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Была введена Леонардом Эйлером

[править] Определение

График гамма-функции действительного переменного

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то интеграл

$\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt$

сходится абсолютно (своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру). Применяя интегрирование по частям, можно показать, что

Γ(z + 1) = z Γ(z)

А поскольку $Γ(1) = 1$ , получаем:

$\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!$

для всех натуральных чисел $n$ . В дальнейшем это может понадобиться для продолжения $Γ(z)$ в мероморфную функцию, определенную для всех комплексных $z$ , за исключением $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$ с помощью аналитического продолжения. Именно эту расширенную версию обычно и считают гамма-функцией.

Другое важное функциональное уравнение для гамма-функции — это формула дополнения

$\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}$ .

Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

Π(z) = Γ(z + 1) = z Γ(z)

Вероятно, наиболее известное значение гамма-функции от нецелого аргумента это

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ .

Гамма-функция имеет полюс в $z = - n$ для любого натурального $n$ ; вычет в этой точке задается так

$\mathop{Res}(\Gamma,\;-n)=\frac{(-1)^n}{n!}$ .

Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных $z$ , не являющихся неположительными целыми:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty\left(1 +\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}$ ,

где $γ$ — это константа Эйлера.

[править] Связь с другими функциями

В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:

$\Gamma(a,\;z)=\int\limits_{z}^{\infty}{e^{-t}\cdot t^{a-1}\,dt}$ .

Гамма-функция диффиренциируема бесконечное число раз, и $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\cdot\Gamma(x)$ , где $ψ(x)$ часто называют «пси-функцией», или дигамма-функция.