Задача выполнимости булевых формул
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Задача выполнимости булевых формул (SAT или ВЫП) — задача распознавания, важная для теории вычислительной сложности.
Экземпляром задачи SAT является булева формула, состоящая только из имен переменных, скобок и операций 
(И), 
(ИЛИ) и 
(HE). Задача заключается в следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в формуле, значения ЛОЖЬ и ИСТИНА так, чтобы формула стала истинной.
Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971-м году, проблема SAT NP-полна.
[править] Точная формулировка
Чтобы четко сформулировать задачу распознавания необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. В своей книге Хопкрофт, Мотвани и Ульман предлагают использовать следующий алфавит: {«», «», «», «(», «)», «x», «0», «1»}.
При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления.
Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину N символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более N переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью O(log N) символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину O(N×log N) символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз.
Например, формула 
примет вид 
.
[править] Вычислительная сложность
В 1971-м году в статье Стивена Кука был впервые введен термин «NP-полная задача», и задача SAT была первой задачей, для которой доказывалось это свойство.
В доказательстве теоремы Кука каждая задача из класса NP в явном виде сводится к SAT. После появления результатов Кука была доказана NP-полнота для множества других задач. При этом чаще всего для доказательства NP-полноты некоторой задачи приводится полиномиальное сведение задачи SAT к данной задаче, возможно в несколько шагов, то есть с использованием нескольких промежуточных задач.
[править] Частные случаи задачи SAT
Интересными важными частными случаями задачи SAT являются:
- Задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме (SATCNF или ВКНФ) — аналогичная задача, с наложенной на формулу условием: она должна быть записана в конъюнктивной нормальной форме. Задача ВКНФ также NP-полна.
- Задача выполнимости булевых формул в k-конъюнктивной нормальной форме (k-SAT или k-ВЫП) — задача выполнимости при условии, что формула записана в k-конъюнктивной нормальной форме. Эта задача является NP-полной при k ≥ 3.
- Задача выполнимости булевых формул в 2-конъюнктивной нормальной форме имеет полиномиальное решение, то есть принадлежит классу P.
