Знакочередующийся ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

$\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0$

Содержание

1 Признак Лейбница
- 1.1 Оценка остатка ряда Лейбница
2 Абсолютная и условная сходимость
- 2.1 Сходимость ряда из модулей как достаточное условие сходимости ряда
- 2.2 Свойства абсолютно сходящихся рядов

[править] Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для ряда

$\sum_{n=1}^\infty b_n$

выполняются следующие условия:

$b_n = (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0$ (знакочередование)
$a_{n+1}<a_n \!$ (монотонное убывание {a_n})
$\lim_{n \to \infty} \, a_n = 0$ .

Тогда этот ряд сходится.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

[править] Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

$\left| r_n \right| < a_{n+1} \!$ .