Метод бисекции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Преполагается только непрерывность функции f(x).

[править] Описание алгоритма

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

Для начала итераций необходимо знать интервал [x_L,x_R] значений x, где находится единственный корень. Произведение значений функции на краях этого интервала получится меньше нуля:

То есть функция меняет знак на данном интервале. Выберем точку внутри интервала

Разобьём этот интервал на два [x_L,x_M] и [x_M,x_R]. Теперь найдём новый интервал, в котором функция меняет знак. Пусть и соответственно корень находится внутри интервала [x_L,x_M]. Тогда обозначим x_R=x_M и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности. За количество итераций N первоначальный отрезок делится в 2^N раз.

[править] Программный код

Пример реализации алгоритма на языке Matlab

 clear;
 
 %Интервал
 x_L=1;
 x_R=2;
 length=x_R-x_L;
 %Начальная ошибка
 err=length;
 
 %Итерационный цикл
 while err>1e-3
     %Деление отрезка пополам
     x_M=(x_L+x_R)/2;
     %Нахождение нового интервала
     if tan(x_L)*tan(x_M)<0
         x_R=x_M;
     else
         if tan(x_M)*tan(x_R)<0
             x_L=x_M;
         else
             x_M
             break;
         end
     end
     %Пересчёт ошибки
     err=(x_R-x_L)/length;
 end
 %Вывод результата
 x_M
 err

Результат выполнения вполне ожидаемый

 x_M =
 
     1.5713
 
 
 err =
 
   9.7656e-004

[править] Внешние ссылки

• Метод бисекции на сервере применения Mathcad.
• Метод бисекции Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica
• Использование метода бисекции в программировании свободно распространяемая программа для вычисления изоэлектрической точки.