Ортоцентр
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ортоцентр (от греч. ορθοξ — прямой) — точка пересечения высот треугольника. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находится внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).
Несмотря на то, что пересечение трёх высот треугольника в одной точке казалось очевидным, строгое доказательство этого факта дал Карл Фридрих Гаусс только в XVIII веке.
[править] Свойства
- Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.
- Радиусы окружностей проходящих через любые три точки ортоцентрической системы равны.
- Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
- Точки, симметричные ортоцентру относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
- Точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
