Парадокс Тристрама Шенди

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рассуждение, предложенное Б. Расселом в книге Mysticism and Logic в связи с понятием равномощности множеств (см.Мощность множества), демонстрирующее нарушение интуитивного принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств.

Содержание

1 Формулировка
2 Аналогия
3 Выводы
4 Ссылки

[править] Формулировка

В романе Л. Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, — возражает на это Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».

Действительно, события $n$ -го дня Шенди мог бы описать за $n$ -й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

[править] Аналогия

Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:

1 2 3 4 5...

1 4 9 16 25...

2 4 8 16 32...

1 2 6 24 120...

Можно привести примеры рядов натуральных чисел со всё более быстрым ростом, представителей которых, как бы редко они ни были расположены в натуральном ряду, будет столько же, сколько натуральных чисел.

[править] Выводы

Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличения их от конечных. Критерий бесконечности множества, предложенный Дедекиндом, формулируется следующим образом: «множество является бесконечным, если и только если оно равномощно некоторой своей части». Можно доказать, что критерий Дедекинда в аксиоматической теории множеств эквивалентен определению бесконечного множества как множества, содержащего счётное подмножество элементов.