Мощность множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом и обозначается мощность такого множества $A$ через $| A |$ (сам Кантор использовал обозначение $\overline{\overline{A}}$ ). Иногда встречается обозначение $\# A$ .

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. Т.е. для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например $|{\mathbb N}|=|\mathbb Z|$ .

Мощность множества натуральных чисел ${\mathbb N}$ обозначается символом $\aleph_0$ («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$ , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются $\aleph_1, \aleph_2,\dots$ .

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом $c$ . Континуум-гипотеза утверждает, что $c=\aleph_1$ .

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. Т.е. для любых множеств $A$ и $B$ возможно только одно из трёх:

$| A | = | B |$ или $A$ и $B$ равномощны;
$| A | > | B |$ или $A$ мощнее $B$ , т. е. $A$ содержит подмножество, равномощное $B$ , но $A$ и $B$ не равномощны;
$| A | < | B |$ или $B$ мощнее $A$ , в этом случае $B$ содержит подмножество, равномощное $A$ , но $A$ и $B$ не равномощны.

Ситуация, в которой $A$ и $B$ не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой $| A | > | B |$ и $| A | < | B |$ , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного:

Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или $| 2 A | > | A |$ .

С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение:

Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

[править] Пример

Множество чётных целых чисел $\mathbb{E}$ имеет такую же мощность, что и множество целых чисел $\mathbb{Z}$ . Определим $f:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{Z}$ так: $f(x)=\frac{x}{2}$ . $f$ — биекция, поэтому $|\mathbb{E}|=|\mathbb{Z}|$

[править] Ссылки

А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, §4.

Категория: Теория множеств

Мощность множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Пример

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках