Площадь поверхности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Площадь поверхности — числовая характеристика поверхности.

[править] Определения

Проще всего определяется площадь многогранных поверхностей: как сумма площадей их плоских граней.

Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в которой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; площадь полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при все более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно C¹-гладкой функцией r(u,v), где параметры u, v изменяются в области D на плоскости (u,v), то площадь S выражается двойным интегралом

где g₁₁ = | r_u | ², , g₂₂ = | r_v | ², a r_u и r_v — частные производные по u и v. В частности, если поверхность есть график C¹-гладкой функции z = f(x,y) над областью D на плоскости (x,y), то

На основе этих формул выводятся известные формулы для площади сферы и ее частей, обосновываются приемы для вычисления площади поверхностей вращения и т. п.

Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях эта формула служит определением площади, при этом роль g₁₁, g₁₂, g₂₂ играют составляющие метрического тензора самой поверхности.

[править] Замечания

• Попытка ввести понятие площади кривых поверхностей как предела площадей вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность.
  Даже для весьма простой кривой поверхности площадь вписанных в неё многогранников со все более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников.
  Это наглядно демонстрирует известный пример Шварца, в котором последовательности вписанных многогранников с разными пределами площади строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра.
• Существенно, что уже в случае двумерной поверхности площадь приписывается не множеству точек, а отображению двумерного многообразия в пространство и тем отличается от меры.