Обсуждение:Предельная точка
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
[править] Лемма о предельной точке
Любое бесконечное ограниченное множество на прямой содержит хотя бы одну предельную точку. Доказательство. Поскольку множество (назовём его X) ограничено, то существует отрезок [a, b], включающий X. Предположим, что ни одна точка этого отрезка не является предельной для X. Тогда окрестностями (при некоторых δ) всех точек X можно покрыть весь отрезок. Значит, по принципу Бореля-Лебега, из множества этих окрестностей (коих бесконечное число, так как во множестве X по условию число элементов бесконечно) можно выделить конечное подпокрытие [a; b] какими-то окрестностями U(x1), U(x2), …, U(xn). В каждой из этих окрестностей по условию конечное число элементов, всего окрестностей также конечное число, значит, всего в X конечное число элементов, что противоречит условию. Стало быть, у X действительно есть предельная точка.
Как я понимаю множество точек 
ограниченно и бесконечно, но не содержит предельных точек. В чём ботва? Сорокин 02:43, 11 января 2007 (UTC)
- Убрал пока из статьи эту теорему. Сорокин 04:19, 11 января 2007 (UTC)
- В формулировке теоремы ошибка: множество всегда имеет предельную точку (данное множество имеет пред. точку x=0), однако не обязано её содержать.
