Пфаффиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определитель кососимметричной матрицы можно представить как квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Как и определитель, пфаффиан не обнуляется только для 2n × 2n кососимметричных матриц и в этом случае является многочленом степени n от элементов матрицы.

[править] Примеры

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

[править] Стандартное определение

Пусть $Π$ обозначает множество всех разбиений ${1,2,..,2 n}$ на неупорядоченные пары (всего существует $(2 n - 1)!!$ таких разбиений). Разбиение $\alpha\in \Pi$ , может быть записано

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

где $i k < j k$ и $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ . Пусть

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

обозначает соответственную перестановку, определим знак $sgn(α)$ как знак перестановки $sgn(π)$ . Нетрудно видеть что $sgn(α)$ не зависит от выбора $π$ .

Пусть $A = {a i j}$ обозначает 2n×2n кососимметричную матрицу. Для разбиения $α$ определим

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$