Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Содержание 1 Свёртка функций 1.1 Свойства 2 Свёртка на группах 3 Свёртка мер 3.1 Cвойства 3.2 Свёртка распределений 4 Ссылки

[править] Свёртка функций

Пусть — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

.

[править] Свойства

• Коммутативность:

f * g = g * f.

• Ассоциативность:

f * (g * h) = (f * g) * h.

• Дистрибутивность:

f * (g + h) = (f * g) + (f * h);

• Ассоциативность умножения на скаляр:

.

• Правило дифференцирования:

D(f * g) = Df * g = f * Dg,

где Df обозначает производную функции f.

• Свойство Фурье-образа:

,

где обозначает преобразование Фурье функции f.

[править] Свёртка на группах

Пусть G — группа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и — две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

.

[править] Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер μ и ν.

[править] Cвойства

• Пусть μ,ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега m. Обозначим их производные Радона — Никодима:

.

Тогда μ * ν также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима имеет вид

f_{μ * ν} = f_μ * f_ν.

• Если μ,ν — вероятностные меры, то μ * ν также является вероятностной мерой.

[править] Свёртка распределений

Если — распределения двух независимых случайных величин X и Y, то

,

где — распределение суммы X + Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y, то случайная величина X + Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f_{X + Y} = f_X * f_Y.

[править] Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet