Строфоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Cтроится так (см. Рис. 1): В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, проводится произвольная прямая AL. Прямая AL пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны, вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду. В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1.

Рис. 1

В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Рис. 2

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол $\alpha = \angle AOD$ (для прямоугольной системы координат $\alpha = \frac {\pi }{2}$ ), записывается так:

$y^2 \left( x - a \right) - 2x^2y \cos \alpha + x^2 \left( a + x \right) = 0 \,\!$ .

Уравнение прямой строфоиды:

$y = \pm x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\!$ .

Уравнение строфоиды а полярной системе координат:

$\rho = - \frac{a \cos2 \phi}{ \cos \phi} \,\!$ .

Параметрическое уравнение строфоиды:

$x = a \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!$

$y = au \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!$ , где

$u = \tan \phi \,\!$ .

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA. В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

[править] История

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название строфоида было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

[править] Нахождение касательной

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

$y = xz \,\!$ , где $z = \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\!$ .

$y' = z + xz' \,\!$

$z = \sqrt {\frac {a + x}{a - x}}$

$\ln {z} = \frac {1}{2} \ln {a + x} - \frac {1}{2} \ln {a - x}$

Дифференцируем данное уравнение:

$\frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a +x} + \frac {1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac{a}{a^2 - x^2} \,\!$

$\frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a + x} + \frac{1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac {a}{a^2 - x^2} \,\!$

$z' = \frac{a}{a^2 - x^2} \sqrt { \frac{a + x}{a - x}} \,\!$

$y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left( 1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right) \,\!$

В точке $O (0,0)$ производная $y' = \pm 1$ , то есть в точке $O (0,0)$ существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен $\pm \frac{\pi}{4}$ .

Радиус кривизны строфоиды $R = O N$ в точке $O (0,0)$ определяется так:

$R = \frac{a}{\cos \angle AON} = \frac{a}{\cos \frac{ \pi}{4}} = a \sqrt{2} \,\!$ .

[править] Площадь петли строфоиды

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат $S 1$ . Уравнение верхней дуги $A M 1 O$ :

$y = - x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}} \qquad \,\!$ (1)

Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от $- a$ до $0$ .

$\frac {1}{2} S_1 = - \int_{-a}^ {0} x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}}\,dx \qquad \,\!$ (2)

Подстановка:

$u = a - x,\qquad a + x = 2a - u, \qquad dx = -du$ .

Пределы интегрирования:

$x = -a \Rightarrow\; u = 2a, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = a$

Интеграл (2) преобразуется к виду:

$\frac {1}{2} S_1 = \int_{2a}^ {a} \left( a - u \right) \sqrt{ \frac {2a - u}{u}}\,du= \,\!$

$= - \int_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du + a \int_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad \,\!$ (3)

Первый интеграл из уравнения (3):

$- \int_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du = - \int_{2a}^{a} \sqrt{2au - u^2}\,du \qquad \,\!$ (4)

Подстановка:

$v = u - a, \qquad u = v + a, \qquad dv = du$ .

Пределы интегрирования:

$u = 2a \Rightarrow\; v = a, \qquad u = a \Rightarrow\; v = 0$ .

Интеграл (4) преобразуется к виду:

$- \int_{a}^ {0} \sqrt{2a \left(v + a \right) - \left(v + a \right)^2}\,dv = - \int_{a}^ {0} \sqrt { a^2 - v^2}\,dv = \,\!$

$= - \left[ \frac{v}{2} \sqrt{a^2 - v^2}+ \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{v}{a} \right] \begin{cases} 0 \\ a \end{cases} = \,\!$

$= \frac{a^2}{2} \arcsin 1 = \frac{a^2 \pi}{4} \,\!$ .

Второй интеграл из уравнения (3):

$a \int_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad \,\!$ (5)

Подстановка:

$u = v^2, \qquad du = 2vdv$ .

Пределы интегрирования:

$u = 2a \Rightarrow\; v = \sqrt {2a}, \qquad u = a \Rightarrow\; v = \sqrt {a}$ .

Интеграл (5) преобразуется к виду:

$2a \int_{ \sqrt{2a}}^{ \sqrt {a}} \sqrt{2a - v^2 }\,dv = \,\!$

$= 2a \left[ \frac{v}{2} \sqrt{2a - v^2} + a \arcsin \frac{v}{ \sqrt{2a}} \right] \begin{cases} \sqrt{a} \\ \sqrt{2a} \end{cases} = \,\!$

$= -\frac {a^2 \pi}{2} + a^2 \,\!$ .

Итак:

$\frac {1}{2}S_1 = \frac {a^2 \pi}{4} - \frac {a^2 \pi}{2} + a^2 \,\!$

Площадь $S 1$ равна:

$S_1 = 2a^2 - \frac {a^2 \pi}{2}$ .

Если координата $x$ стремится к $a$ , то правые ветви строфоиды стремятся к $\pm \infty$ , но площадь между линией $U' O V'$ и асимптотой $U V$ конечна и определяется интегралом (2) в пределах от $0$ до $a$ . В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU - отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от $0$ до $a$ , получим следующее выражение для площади $S 2$ :

$S_2 = 2a^2 + \frac {a^2 \pi}{2}$ .

[править] Объём тела вращения

Объём ( $V 1$ ) тела, образованного при вращении дуги $O M 1 A$ вокруг оси абсцисс, расчитывается так:

$V_1 = \pi \int_{-a}^{0} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad \,\!$ (6)

$= \pi \int_{-a}^{0} x^2 \frac{a + x}{a - x} \,dx = \,\!$

$= - \pi \int_{-a}^{0} x^2 \,dx - 2 \pi a \int_{-a}^{0} x \,dx - 2 \pi a^2 \int_{-a}^{0} dx + 2 \pi a^3 \int_{-a}^{0} \frac{dx}{a - x} = \,\!$

$= - \frac{a^3 \pi}{3} + a^3 \pi - 2a^3 \pi + 2a^3 \pi \ln {2} \,\!$

Итак:

$V_1 = a^3 \pi \left( 2 \ln{2} - \frac{4}{3} \right) \,\!$ .

Объём ( $V 2$ ) тела, образованного при вращении ветви $O V'$ вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от $0$ до $b$ , где $0 = < b < a$ :

$V_2 = \pi \int_{0}^{b} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad \,\!$