Теорема Мергеляна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Для улучшения статьи желательно: Найти и установить ссылки из других статей Википедии

Теорема Мергеляна — теорема о возможности равномерной полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного.

Пусть K — компакт со связным дополнением на плоскости комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, непрерывная на K и голоморфная в его внутренних точках, равномерно на K приближается многочленами от z.

Из теоремы Мергеляна вытекает следующее утверждение.

Пусть K — произвольный компакт на плоскости . Для того чтобы функция f, непрерывная на K и голоморфная внутри K, равномерно приближалась многочленами от z, необходимо и достаточно, чтобы f голоморфно продолжалась во все ограниченные связные компоненты множества .

[править] История

Эта теорема была доказана С. Н. Мергеляном. Она завершила большой цикл исследований по теории приближений в комплексной плоскости и имеет много применении в различных разделах комплексного анализа.

В случае, когда K не имеет внутренних точек, это утверждение было доказано М. А. Лаврентьевым; а для случая, когда K — замкнутая область со связным дополнением, соответствующая теорема доказана М. В. Келдышем.