Теория топосов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теория топосов — раздел теории категорий, изучающий топосы — категории с определенными дополнительными структурами, и математические (категорные) методы, связаные с топосами.

Развитие теории топосов началось со втoрой половины XX века. Её идеи нашли применение в различных частях современной математики, особенно в геометрии и математической логике.

Понятие топоса является категорным аналогом понятия множества в классической математике. Рассмотрим категорию множеств (Set), где в качестве объектов выступают множества, а в качестве морфизмов — отображения между множествами. Очевидно, что эта математическая конструкция действительно удовлетворяет аксиомам категории. Но очевидно, чтобы категорно рассматривать множества вместе со всеми их свойствами данной аксиоматизации совершенно недостаточно, определения категории слишком общи, чтобы отразить свойства множеств. Так, у каждого множества существуют элементы, а в категории множеств у объектов никаких элементов нет. Для данных двух множеств мы можем образовать их декартово произведение, а в категории множеств такой конструкции нет. Таким образом, для полноценной работы с категорией множеств, действительно отражающей понятие множества, необходимо определить дополнительные свойства, которым должна удовлетворять категория, чтобы быть похожей на множества.

Такая аксиоматизация была проведена американскими математиками Ловером и Тирни. Они определили категорные аналоги операций на множествах с помощью базовой категорной конструкции предела. Было замечено, что каждая базовая операция над множествами, создающая новое множество, основана на некотором универсальном свойстве, связанном с этим новым множеством по отношению к базовым. Например, рассмотрим в качестве базовых множеств два множества X и Y, и операцию декартова произведения, сопоставляющую этим двум множествам множество . Множество связано с базовыми множествами отображениями проектирования и является универсальным относительно этих отображений в том смысле, что для любого другого множества Z, для которого существуют отображения и (псевдопроекции) во множества X и Y, всегда найдётся единственное отображение такое, что композиции отображения u с отображениями проектирования совпадают с отображениями p и q. В этом смысле множество X×Y является «наименьшим возможным» из тех множеств, для которых существуют отображения псевдопроектирования в X и Y. Таким образом, в качестве произведения двух объектов в категории множеств можно рассмотреть «новый» объект в этой категории, с двумя стрелками в исходные объекты и удовлетворяющий описанному выше свойству универсальности.

Оказывается, подобным способом можно категорно описать все возможные конструкции образования новых множеств из уже существующих. Вообще, если для любого конечного набора объектов и морфизмов (диаграммы) можно образовать их предел (то есть указать на объект этой категории, являющийся универсальным для этой диаграммы), то говорят, что данная категория конечно полна. Ещё одна важная конструкция, связанная с понятием множества, — это возможность для двух множеств A и B образовать множество всех функций из A в B. Эту конструкцию также можно описать категорно с помощью универсальных стрелок. Категория, в которой для любых двух объектов существует объект, являющийся категорным аналогом множества всех функций из одного множества в другое, и которая при этом является конечно полной, называется декартово замкнутой категорией. Можно сказать, что топос — это декартово замкнутая категория с одним дополнительным условием, а именно: в топосе должен существовать специальный объект — классификатор подобъектов Ω. Классификатор подобъектов Ω позволяет для любого множества определять, является ли оно подмножеством исходного или нет. Таким образом, топос (элементарный топос) — это декартово замкнутая категория с классификатором подобъектов.

Слово «элементарный» в предложении выше имеет свою историю. Дело в том, что математические объекты, которые, если их рассматривать категорно, удовлетворяют аксиомам топоса, рассматривались в математике задолго до того, как было осознано понятие элементарного топоса. В частности, в алгебраической геометрии широко применяется введённое Гротендиком понятие пучка. Пучок — математическая конструкция, в полной мере удовлетворяющая всем аксиомам элементарного топоса, но имеющая свою собственную историю и существующая в различных разделах математики. В какой-то мере множество — это частный «усечённый» случай пучка. Пучок первоначально был аксиоматизирован Гротендиком и носил название топоса. Поэтому различают элементарные топосы и топосы Гротендика. Первые — категории, удовлетворяющие дополнительным условиям топоса, а вторые — пучки множеств на топологическом пространстве. Каждый топос Гротендика является элементарным топосом, но не наоборот. Пучок является одним из основных примеров элементарного топоса. Теория топосов была разработана в 70-х годах XX века, и сейчас её основное развитие идёт в направлении поиска приложений теории к различным областям человечкой деятельности. Так, построение аксиоматических теорий легко и элегантно описывается в теории топосов, и исследовательская работа связана с нахождением различных следствий такого описания в оригинальной аксиоматике.

[править] Литература

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory, Springer, New York, 1992. ISBN 0387977104

• Peter T. Johnstone, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium, Oxford Science Publications, Oxford, 2002.

• Michael Barr, Charles Wells, Toposes, Triples and Theories, Springer, 1985. Онлайн версия http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html.

• John Baez, Topos theory in a nutshell

• Джонстон, П. Т. Теория топосов / П. Т. Джонстон.— М.: Наука, 1986.— 220 с.

• Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики / Р. Голдблатт.— М.: Мир, 1983.— 487 с.