Topos (Mathematik)
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Topos (pl. Topoi, griech. Ort) ist ein Begriff der Kategorientheorie, der in zwei engverwandten Ausprägungen vorkommt, nämlich
- als Grothendieck-Topos, der ein verallgemeinerter topologischer Raum ist und Anwendungen in der algebraischen Geometrie findet.
- als Elementartopos, der eine verallgemeinerte Menge ist, mit dem Ziel einer nicht-mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik.
[Bearbeiten] Grothendieck-Topoi
Ein Grothendieck-Topos ist definiert als eine Kategorie, die äquivalent ist zur Kategorie der Garben (von Mengen) auf einem Situs. Nach einem Satz von J. Giraud ist eine Kategorie E genau dann ein Grothendieck-Topos, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- (a) In E existieren endliche projektive Limites.
- (b) In E existieren beliebige Koprodukte, und sie sind universell disjunkt.
- Ein Koprodukt
heißt disjunkt, wenn die Strukturmorphismen 
Monomorphismen sind und 
für 
ein Anfangsobjekt ist. Das Koprodukt heißt universell disjunkt, wenn es unter jedem Basiswechsel 
disjunkt bleibt, d.h. wenn 
disjunkt ist.
- (c) Äquivalenzrelationen in E sind universell effektiv.
- Dabei ist eine Äquivalenzrelation ein Paar
von Morphismen, so dass für jedes Objekt 
die induzierte Abbildung 
eine Bijektion auf den Graphen einer Äquivalenzrelation auf X(T) ist. (Dabei ist 
.)
- (d) E besitzt eine erzeugende Familie von Objekten.
- Dabei heißt eine Familie Ei von Objekten erzeugend, wenn ein Morphismus
, für den alle induzierten Abbildungen 
Bijektionen sind, ein Isomorphismus ist.
[Bearbeiten] Literatur
- Artin, M., Grothendieck, A., Verdier, J.-L.: Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. (SGA 4) 1963-64. SGA
- Borceux, Francis: Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves – Cambridge, 1994.
- Goldblatt, Rob: Topoi : the categorial analysis of logic. – Amsterdam, 11979, 21984 Scans
- Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke: »Topos theory« in Handbook of algebra.(Hazewinkel, M., ed.), – Amsterdam. Bd. I, 1996, S.501-528. ISBN 0-444-82212-7 Zbl0858.18001
- Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke: Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory. – Berlin, 1992. – xii, 627 p. (Universitext) ISBN 0-387-97710-4 Zbl0822.18001
- Barr, Michael; Wells, Charles: Toposes, Triples and Theories; Grundlehren der math. Wissenschaften 278. Springer-Verlag, 1983 http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html
