Уравнения Эйлера (механика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В физике, Уравнения Эйлера описывают вращение твердого тела. Мы выбираем в качестве фиксированных осей тела его главные оси инерции. Это упрощает вычисления. поскольку мы можем разделить изменение углового момента на компонент, который описывает изменение величины of $\mathbf{L}$ и компонент, который компенсирует это изменение в направлении $\mathbf{L}$ .

Тогда уравнения принимают вид:

$\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}$

где $\mathbf{L}$ — угловой момент тела по отношению к пространственным осям, $\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}$ - изменение углового момента тела по отношению к его фиксированным осям, $\mathbf{\omega}$ скорость изменения углов Эйлера осей, связанных с телом, по отношению к пространственным осям, и $\mathbf{N}$ — внешний вращающий момент.

если мы заменим $\mathbf{L}$ его компонентами $I_1\omega_1\mathbf{e}_1 + I_2\omega_2\mathbf{e}_2 + I_3\omega_3\mathbf{e}_3$ , то мы можем заменить $\frac{d\mathbf{L}}{dt}$ выражением $I_1\dot{\omega}_1\mathbf{e}_1 + I_2\dot{\omega}_2\mathbf{e}_2+I_3\dot{\omega}_3\mathbf{e}_3 + \frac{d\mathbf{e}_1}{dt}\omega_1I_1 + \frac{d\mathbf{e}_2}{dt}\omega_2I_2 + \frac{d\mathbf{e}_3}{dt}\omega_3I_3$ . если мы выберем базовые вектора $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ совпадающими с главными осями инерции тела, то первые три слагаемых равны $\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}$ . а остальные три это $\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}$

Тогда уравнения Эйлера в компонентной форме примут вид

$\begin{matrix} N_1 &=& I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3\\ N_2 &=& I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1\\ N_3 &=& I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2\\ \end{matrix}$

Также возможно использовать эти три уравнения, если оси, в которых записан $\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}$ не связаны с телом. Тогда $\mathbf{\omega}$ должен быть заменен вращением осей вместо вращения тела. Тем не менее все еще требуется, чтобы выбранные оси были главными осями инерции! Эту форму уравнений Эйлера удобно использовать для объектов, обладающих вращательной симметрией, что позволяет произвольно выбирать некоторые из главных осей инерции.

Категория: Физические законы и уравнения

Уравнения Эйлера (механика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках