Формулы векторного анализа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Обозначения
2 Тождества с двумя
3 Линейность
4 Дифференцирование произведений полей
5 См. также

[править] Обозначения

- набла, оператор дифференцирования: $\nabla$

- градиент скалярного поля: $\nabla \psi = \operatorname{grad}\ \psi$

- дивергенция векторного поля: $\nabla \cdot \mathbf{A} = \operatorname{div}\ \mathbf{A}$

- ротор векторного поля: $\nabla \times \mathbf{A} = \vec{\operatorname{rot}}\ \mathbf{A}$

- лапласиан: $\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$

[править] Тождества с двумя $\nabla$

$\ \nabla \times ( \nabla \psi ) = 0$	$\ \mathbf{rot}(\mathbf{grad}\ \psi) = 0$
$\ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0$	$\ div\ (\mathbf{rot}\ \mathbf{A} ) = 0$
$\ \Delta\ \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) = \nabla^2 \psi$	$\ \Delta\ \psi = div\ (\mathbf{grad}\ \psi)$
$\ \nabla \times \nabla \times \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}$	$\ \mathbf{rot}\ (\mathbf{rot}\ \mathbf{A}) = \mathbf{grad}\ (div\ \mathbf{A}) - \Delta\mathbf{A}$

[править] Линейность

Для любого числа $α$ :

$\ \nabla ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha \nabla \phi + \nabla \psi$	$\ \mathbf{grad} ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha\ \mathbf{grad}\ \phi + \mathbf{grad}\ \psi$
$\ \nabla \cdot ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}$	$\ div\ ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha\ div\ \mathbf{A} + div\ \mathbf{B}$
$\ \nabla \times ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}$	$\ \mathbf{rot} ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha\ \mathbf{rot}\ \mathbf{A} + \mathbf{rot}\ \mathbf{B}$

[править] Дифференцирование произведений полей

$\nabla \cdot (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot\nabla\psi + \psi\nabla \cdot \mathbf{A}$	$div (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{grad}\psi + \psi\ div \mathbf{A}$
$\nabla \times (\psi\mathbf{A}) = \nabla\psi \times \mathbf{A} + \psi\nabla \times \mathbf{A}$	$\mathbf{rot} (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{grad}\psi \times \mathbf{A} + \psi\ \mathbf{rot}\mathbf{A}$
$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} +$ $+ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$	$\ \mathbf{grad}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} +$ $+ \mathbf{A} \times \mathbf{rot} \mathbf{B} + \mathbf{B} \times \mathbf{rot} \mathbf{A}$
$\frac{1}{2} \nabla A^2 = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}$	$\frac{1}{2}\ \mathbf{grad} A^2 = \mathbf{A} \times (\mathbf{rot} \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}$
$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{B}$	$div\ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \mathbf{rot}\ \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \mathbf{rot}\ \mathbf{B}$
$\ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) +$ $\;+ (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}$	$\ \mathbf{rot} (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}\ (div\ \mathbf{B}) - \mathbf{B}\ (div\ \mathbf{A}) +$ $\;+ (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}$