Градиент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вот так операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху (не показано), в поле векторов (справа). Видно, что вектора направлены в горку и тем длиннее, чем круче наклон.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $\frac {\partial \phi} {\partial x}$ , $\frac {\partial \phi} {\partial y}$ , $\frac {\partial \phi} {\partial z}$ , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $φ$ — функция n переменных $x_1,\ldots,x_n$ , то ее градиентом будет n-мерный вектор

$\left(\frac{\partial \phi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \phi}{\partial x_n}\right)$ ,

компоненты которого равны частным производным $φ$ по всем ее аргументам.

Градиент обозначается $gradφ$ или, с использованием оператора набла, $\nabla \phi$ .

Из определения градиента следует, что:

$\mathrm{grad}\phi = \nabla \phi = \frac {\partial \phi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \phi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \phi} {\partial z} \vec e_z$

[править] Свойства

Для любого постоянного числа $c\in\R$ и скалярных полей $u,v:\R^n\to\R$ справедливо следующее:

$\operatorname{grad}\,c=\vec{0}$

Линейность

$\operatorname{grad}\,(c\cdot u)=c\cdot\operatorname{grad}\,u$
$\operatorname{grad}\,(u+v)=\operatorname{grad}\,u+\operatorname{grad}\,v$

Правило Лейбница

$\operatorname{grad}\,(u\cdot v) = u\cdot\operatorname{grad}\,v + v\cdot\operatorname{grad}\,u$

[править] Пример

Например, градиент функции $φ = 2 x + 3 y 2 - s i n (z)$ будет представлять собой:

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-cos(z)} \end{pmatrix}$

[править] В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

[править] Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $φ$ :

$\displaystyle \gamma(h)=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid \phi(x_1,\ldots,x_n)=h\}.$

Нетрудно показать, что градиент функции $φ$ в точке $\vec{x}^0$ перпенидкулярен ее линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $\vec{x}^0$ , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

[править] Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $φ$ по направлению $\vec{e}=(e_1,\ldots,e_n)$ равняется скалярному произведению градиента $φ$ на вектор $\vec{e}$ :