Число Понтрягина
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.
[править] Определение
Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и 
― разбиение числа n, т. е. набор натуральных чисел, таких что 
.
Рациональное число
![P_{\omega}=p_{k_1}\cup p_{k_2}\cup \cdots\cup p_{k_m}([M])](../../../math/6/e/3/6e357f3a78949ce168fbd6c4285eb5db.png)
называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению ω, здесь pi обозначают классы Понтрягина.
Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.
[править] Свойства
- Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
- Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
- Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия т. е. сигнатура квадратичной формы пересечения, определенной на Hn / 2(M), n = dimM.
- Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (
-род) замкнутого спинорного многообразия M, т. е. индекс оператора Дирака на M.
