Бордизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Штаны — бордизм между окружностью и парой окружностей

Бордизм — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Содержание

1 Неориентированные бордизмы
2 Бордизмы с дополнительной структурой
- 2.1 Ориентированные бордизмы
- 2.2 Другие варианты
3 Свойства
4 История
5 См. также

[править] Неориентированные бордизмы

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M' бордантны (ограничнвают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное n+1-мерное многообразие W (назывемое пленка), край которого состоит из двух многообразий M и M', (или точнее многообразий $M 0$ и $M 1$ диффеоморфных, соответственно, М и М' посредством некоторых диффеоморфизмов $g_0:M\to M_0$ и $g_1:M'\to M_1$ ). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку $(W, M 0, M 1)$ называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятерке $(W, M 0, M 1, g 0, g 1)$ ). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу $\Omega_n^O$ относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: $M$ — ограничивающее многообразие, $M$ — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом $\Omega_n^O$ обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (т. к. объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения $M\times [0,1]$ ). Прямая сумма $\Omega_*^O$ групп $\Omega_n^O$ является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

[править] Бордизмы с дополнительной структурой

[править] Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия М и М' ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причем пленка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на $M 0$ и $M 1$ (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах $g 0$ и $g 1$ , соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М'. Аналогично $\Omega_n^O$ , и $\Omega_*^O$ вводятся группы ориентированных бордизмов $\Omega_n^{SO}$ и кольцо $\Omega_*^{SO}$ .

[править] Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (назывемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, Spin-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д.. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

[править] Свойства

Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля—Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).

[править] История

Первый пример — бордизм оснащенных многообразий, введенный в 1938 Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер $π i (S n)$ , и таким путем смог найти $π n + 1 (S n)$ и $π n + 2 (S n)$ . Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951 — 53 Рохлиным, вычислившим $\Omega_n^{SO}$ для $n\le4$ . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.