Комптонов ефекат

Из пројекта Википедија

Комптонов ефекат је расејање фотона са атома при чему фотон губи део енергије, тј., мења таласну дужину. Ефекат је значајан јер је потврдио корпускуларну (честичну) природу светлости. Може квантитативно да се објасни ако се представи као игра билијара фотона и електрона. За откриће и објашњење ефекта Комптон је добио Нобелову награду за физику 1927. године.

Овај ефекат је био важан за развој модерне физике јер је показао да светлост не може у потпуности да се опише као таласна појава. Класична теорија расејања електромагнетних таласа са наелектрисане честице не може да објасни промену таласне дужине расејаног зрака. За објашњење Комптоновог расејања неопходно је узети у обзир честичну природу светлости. Комптонов експеримент је најзад уверио физичаре да се светло понаша и као млаз честица чија је енергија пропорционална фреквенцији.

Комптоново расејање се јавља на свим материјалима, највише са фотонима средњих енергија, 0,5 до 3,5 MeV.

Садржај

1 Једначина за Комптонов помак
- 1.1 Извођење
2 Примене
3 Види још
4 Литература
5 Спољашње везе

[уреди] Једначина за Комптонов помак

Комптоново расејање (у систему у којем мета мирује)

Да би објаснио појаву, Комптон је употребио три основне формуле класичне и модерне физике:

Честичну природу светлости, како је већ демонстрирано у фотоелектричном ефекту
Релативистичку динамику из специјалне теорије релативности
Тригонометрију - косинусни закон

те је добио следећу једначину Комптоновог рассејања:

$\lambda_2 = \frac{h}{m_e c}(1-\cos{\theta}) + \lambda_1$

где је

λ 1

таласна дужина фотона пре судара,

λ 2

таласна дужина фотона после расејања,

m_e маса електрона,

h/(m_ec) Комптонова таласна дужина,

θ угао скретања фотона,

h Планкова константа, и

c брзина светлости.

Комптонова таласна дужина износи 2,43×10^-12 метара.

[уреди] Извођење

Полазимо од закона о одржању енергије:

$E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,$

где је $E γ$ енергија фотона пре судара а $E e$ енергија фотона пре судара — једнака његовој маси мировања. Променљиве са примом (') означавају стање након судара.

Исто треба да важи и закон о одржању момента:

$\vec p_{\gamma} + \vec{p_{e}} = \vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{e'}}\,$

где, због једноставности, подразумевамо да електрон пре судара мирује па $p e = 0$

Користећи везу између енергије и фреквенције, и енергије и импулса $E = h f = p c$ из горњег израза налазимо:

$\vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}}\,$

${\vec{p_{e'}}}^2 = {(\vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}})}^2$

${\vec{p_{e'}}}^2 = \vec{p_{\gamma}}^2 - 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{\gamma'}}^2$

$\vec{p_{e'}} \cdot \vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} \cdot \vec{p_{\gamma} 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{\gamma'}} \cdot \vec{p_{\gamma'}}$ }-

${p_{e'}}^2 \cdot \cos(0) = p_{\gamma}^2 \cdot \cos(0) - 2 \cdot p_{\gamma} \cdot p_{\gamma'} \cdot \cos(\theta) + p_{\gamma'}^2\cdot \cos(0)$

Косинусни члан, $cos(θ)$ , се јавља јер фотон мења правац кретања па је за слагање момената потребно узети у обзир угао међу њима.
Замењивањем $p γ$ са $\frac{hf}{c}$ и $p γ'$ са $\frac{hf'}{c}$ , налазимо

$p_{e'}^2 = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}$

Сада трансформишемо енергијски део:

$E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,$

$hf + mc^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2}\,$

и решавамо га по p_e':

$(hf + mc^2-hf')^2 = (p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2\,$

$\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2}= p_{e'}^2\,$

Сада имамо две различита израза за $p_{e'}^2$ , која смемо да изједначимо:

$\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2} = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}$

Сада је само питање преуређивања:

$h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'\cos{\theta}\,$

$-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = -2h^2ff'\cos{\theta}\,$

$hff'-(f-f')mc^2 = hff'\cos{\theta}\,$

$hff'(1-\cos{\theta}) = (f-f')mc^2\,$

$h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) =\left(\frac{c}{\lambda\frac{c}{\lambda'}\right)mc^2$ }-

$h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) = \left(\frac{c\lambda'}{\lambda\lambda'\frac{c\lambda}{\lambda'\lambda}\right)mc^2$ }-

$h(1-\cos{\theta}) = \frac{\lambda'}{c}\frac{\lambda}{c}\left(\frac{c\lambda'}{\lambda'\lambda\frac{c\lambda}{\lambda\lambda'}\right)mc^2$ }-

$h(1-\cos{\theta}) = \left(\frac{\lambda'}{c\frac{\lambda}{c}\right)mc^2$ }-

$\frac{h}{mc}(1-\cos{\theta}) =\lambda'-\lambda$

Дакле, након судара са електроном у атому, фотон мења правац (угао $θ$ ) и таласну дужину од $λ$ у $λ'$ избијајући из атома електрон који односи део првобитне енергије фотона.

[уреди] Примене

Комптоново расејање је од прворазредног значаја у радиологији јер је то највероватнији механизам међуделовања високоенергијских Х-зрака и атома у ткиву и користи се у радијационој терапији.

У истраживањима, Комптоново расејање се користи за испитивање електронског омотача у атому.