Compton-Effekt

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Als Compton-Effekt oder Compton-Streuung (manchmal auch als inkohärente Streuung) bezeichnet man einen physikalischen Streuprozess, bei dem die Wellenlänge von Photonen bei der Streuung an (quasi-) freien Elektronen um einen Wert $Δλ$ vergrößert wird (Frequenz bzw. Energie sinkt).

Compton-Streuung tritt immer dann auf, wenn die Energie des Photons vergleichbar ist mit der Ruheenergie des Elektrons, d.h. Compton-Streuung ist der dominierende Wechselwirkungsprozess in Materie für Photonenenergien zwischen ca. 100 keV bis ca. 10 MeV, wobei der tatsächliche Bereich vom Streumaterial abhängt. Bei der Streuung an freien, ruhenden Elektronen gilt für die Änderung der Wellenlänge:

$\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right).$

Ist das Elektron an ein Atom gebunden, dann gilt diese Formel nur noch näherungsweise, da der ursprüngliche Impulsvektor des Elektrons in der Atomhülle nicht bekannt ist. Den Einfluss dieses Effektes auf die Bestimmung des Streuwinkels bzw. der Ursprungsrichtung des einfallenden Photons bezeichnet man als Doppler-Verbreiterung. Er ist besonders stark ausgeprägt bei niedrigen Energien, großen Streuwinkeln und Atomen mit hoher Kernladungszahl.

Aufgrund der Änderung der Energie des Photons und der damit verbundenen Energieübertragung auf das Elektron spricht man von inelastischer (seltener auch von inkohärenter) Photonstreuung, um sie von der elastischen (kohärenten) Photonstreuung (Thomson-Streuung an freien Elektronen, Rayleigh-Streuung an gebundenen Elektronen) zu unterscheiden.

Durch Compton-Streuung an einem schwach gebundenen Außenelektron kann dieses aus dem Atom freigesetzt werden, so dass ein Ion-Elektron-Paar entsteht. Die Comptonstreuung ist daher eine Art der Ionisation von Materie durch elektromagnetische Strahlung.

Für Photonen, deren Energie sehr viel kleiner als die des Elektrons ist, findet inverse Compton-Streuung statt, bei der das Elektron Energie an das Photon abgibt. Diesen Effekt kann man insbesondere in den Akkretionsscheibenkoronae von aktiven Galaxienkernen beobachten.

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichte
2 Anwendungen
3 Herleitung der Gleichung
4 Compton-Spektrum und Compton-Kante
5 Anmerkung
6 Compton-Effekt durch Streuung am Schwerpunkt
7 Quellen und Referenzen
8 Weblinks

[Bearbeiten] Geschichte

Bis zur Entdeckung des Compton-Effekts fehlte ein eindeutiger Nachweis, dass Licht tatsächlich, wie von Albert Einstein 1905 postuliert, neben dem Wellencharakter auch Teilchencharakter hat (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus).

Als Arthur Holly Compton im Jahre 1922 die Streuung von hochenergetischen Röntgenstrahlen an Graphit untersuchte, machte er zwei Beobachtungen: Zum einen war die Streuwinkelverteilung hinsichtlich Vorwärts- und Rückwärtskomponente nicht symmetrisch, und zum anderen war die Wellenlänge der gestreuten Strahlung nicht mehr identisch mit der der einfallenden Strahlung. Beide Beobachtungen standen im Widerspruch zur klassischen Beschreibung der elastischen Streuung von Licht an freien Elektronen (Thomson-Streuung) und an gebundenen Elektronen (Rayleigh-Streuung), die vom Wellencharakter des Lichts ausgeht.

Stattdessen gelang es Compton, nachzuweisen, dass sich die Energie und Richtung des gestreuten (hochenergetischen) Photons wie bei einem klassischen Teilchenstoß zwischen Photon und Elektron aus dem Energie- und Impulserhaltungssatz (siehe Kinematik) bestimmen lassen. Damit bewies Compton den Teilchencharakter von Licht. ^[1] ^[2]

Für die Entdeckung des nach ihm benannten Effekts erhielt Compton im Jahre 1927 den Physiknobelpreis.

[Bearbeiten] Anwendungen

Da es sehr schwierig ist, Gammastrahlung mittels Linsen zu fokussieren, spielt der Compton-Effekt eine wichtige Rolle bei der Abbildung mittels Gammastrahlen im Energiebereich von einigen hundert keV bis zu einigen zehn MeV. In sogenannten Compton-Teleskopen (auch Compton-Kameras genannt) misst man Energie und Richtung des gestreuten Photons sowie Energie und (manchmal auch) Richtung des Elektrons. So können Energie, Ursprungsrichtung und unter Umständen die Polarisation des einfallenden Photons bestimmt werden. In der Realität wird dies durch Messunsicherheiten und nicht gemessene Größen wie die Richtung des Elektrons jedoch stark erschwert, so dass komplexe Ereignis- und Bildrekonstruktionsmethoden angewandt werden müssen.

Das wohl bekannteste Compton-Teleskop war COMPTEL, das an Bord des NASA-Satelliten CGRO von 1991 bis 2000 als erstes Teleskop den Sternenhimmel im Energiebereich zwischen 0,75 und 30 MeV erforschte. Zu den Erfolgen von COMPTEL zählen u.a. die Erstellung der ersten Himmelskarten in diesem Energiebereich, die Erforschung der Nukleosynthese z.B. von radioaktivem ²⁶Al (massereiche Sterne und Supernovae) und ⁴⁴Ti sowie Fortschritte bei der Erforschung von Pulsaren, Aktiven Galaxien (AGNs) etc.

Es laufen Entwicklungsarbeiten zum Einsatz von Compton-Kameras im Bereich der Medizin oder Nukleartechnik. In der Medizin könnten sie gegenüber den heute verwendeten Szintigraphie-Gammakameras Bilder mit besserer räumlicher Auflösung liefern, also Tumore und Metastasen exakter lokalisieren. In der Nukleartechnik könnten in Zukunft mittels Compton-Kameras z.B. Nuklearanlagen oder nukleare Abfälle überwacht werden.

Im Bereich der Flugsicherung wurden Scanner-Geräte entwickelt, welche die Compton-Rückstreuung (engl. Backscatter) normaler Röntgenstrahlen, nach dem verwendeten Frequenzbereich auch als Terahertzstrahlen bezeichnet, an Oberflächen nutzen. Diese werden zur Zeit in den USA getestet.

[Bearbeiten] Herleitung der Gleichung

[Bearbeiten] Photonenmasse

Über die Masse-Energie-Äquivalenz $E p h = m p h c 2$ kann einem (eigentlich masselosen) Photon der Energie $E p h = h ν$ die Masse $m_{ph}=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}$ zugeordnet werden. Der ursprüngliche Nachweis dieser Photonenmasse erfolgte mittels Gravitationslinsen, d.h. durch die Ablenkung von Photonen im Schwerefeld von massereichen Objekten wie Sternen oder Galaxien.

[Bearbeiten] Photonenimpuls

Wegen $E p h = m p h c 2 = p p h c$ , mit $p p h = m c$ , folgt für den Impuls

$p_{ph}= \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$ , mit $c = λν$

Im Modellbild der Compton-Streuung stößt ein hochenergetisches Photon mit einem Elektron zusammen, überträgt dabei einen Teil seiner Energie und seines Impulses an das Elektron, und fliegt mit niedrigerer Energie (längerer Wellenlänge) und geändertem Impulsvektor unter dem Streuwinkel $\varphi$ weiter. Da die Geschwindigkeit des Photons stets die Lichtgeschwindigkeit ist, muss es seine Energie (Wellenlänge) ändern, um die Impulserhaltung zu erfüllen. Für die folgende Bestimmung der Wellenlängenänderung in Abhängigkeit vom Streuwinkel $\varphi$ des Photons (das heißt der Richtungsänderung des Impulsvektors) wird von einem Stoß an einem freien, ruhenden Elektron ausgegangen.

[Bearbeiten] Herleitung mit Energie- und Impulssatz

Energie des Elektrons vor der Streuung	Energie des Photons vor der Streuung
$E_{0e}^{}=m_{0e}c^2$	$E_{ph}^{}=h\nu$
Energie des Elektrons nach der Streuung	Energie des Photons nach der Streuung
$E_e=m_e^{}c^2$	$E_{ph}^{\prime }=h\nu'$
Energieerhaltungssatz	Impulserhaltungssatz
$E_{0e}+E_{ph}=E_e+E_{ph}^{\prime}$	$\vec p_{ph}=\vec p_e+\vec p'_{ph}$
$m_{0e}^{}c^2+h\nu=E_e+h\nu'$	Kosinussatz
$(h\nu-h\nu'+m_{0e}c^2)^2=E_e^2$	$p_e^2 = p_{ph}^2+p_{ph}^{\prime 2}-2p_{ph}p'_{ph} \cos \varphi$
Energie-Impuls-Beziehung
$E_{0e}^2=E_e^2-(p_ec)^2 \rightarrow m_{0e}^2c^4=E_e^2-p_e^2c^2$

Einsetzen des Energieerhaltungs- und Kosinussatzes in die Energie-Impuls-Beziehung:

$\left(h\nu-h\nu'+m_{0e}c^2\right)^2-\left(p_{ph}^2+p^{\prime 2}_{ph}-2p_{ph}p'_{ph} \cos \varphi\right)c^2=m_{0e}^2c^4$

$\left(h\nu-h\nu'+m_{0e}c^2\right)^2-\left[\left(\frac{h\nu}{c}\right)^2+\left(\frac{h\nu'}{c}\right)^2-2\left(\frac{h\nu}{c}\right)\left(\frac{h\nu'}{c}\right) \cos \varphi\right]c^2=m_{0e}^2c^4$ , mit $p_{ph}=\frac{h\nu}{c}$

$\left(h\nu\right)^2-h^2\nu\nu'+h\nu m_{0e}c^2-h^2\nu\nu'+\left(h\nu'\right)^2-h\nu'm_{0e}c^2+h\nu m_{0e}c^2-h\nu 'm_{0e}c^2+\left(m_{0e}c^2\right)^2$ $-\left(h\nu\right)^2-\left(h\nu'\right)^2+2h^2\nu\nu' \cos \varphi = m_{0e}^2c^4$

$\left(h\nu\right)^2-2h^2\nu\nu'+2h\nu m_{0e}c^2+\left(h\nu' \right)^2-2h\nu'm_{0e}c^2-\left(h\nu \right)^2-\left(h\nu'\right)^2+2h^2\nu\nu' \cos \varphi=0$

$2h\nu m_{0e}c^2-2h\nu'm_{0e}c^2-2h^2\nu\nu' +2h^2\nu\nu' \cos \varphi=0$

$2h\nu m_{0e}c^2-2h\nu'm_{0e}c^2-2h^2\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)=0$

$2h\left[m_{0e}c^2\left(\nu-\nu'\right)\right]=2h^2\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)$

$m_{0e}c^2\left(\nu-\nu'\right)=h\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)$

$\frac{\nu-\nu'}{\nu\nu'}=\frac{h}{m_{0e}c^2}\left(1- \cos \varphi \right)$

$\frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_{0e}c^2}\left(1- \cos \varphi \right)$

$\frac{c}{\nu'}-\frac{c}{\nu}=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right) \rightarrow \lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right)$

$\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right)$

Eventuell unerwartet hierbei ist, dass die Wellenlängenänderung nur vom Streuwinkel $\varphi$ , nicht aber von der ursprünglichen Wellenlänge des Photons abhängt. Bei einer Streuung von $\varphi = 90^\circ$ ist $\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}=2{,}43 pm = \lambda_C$ und wird als "Compton-Wellenlänge des Elektrons" bezeichnet. Die relativ geringe Änderung ist die Ursache dafür, dass der Compton-Effekt nur bei kurzwelliger Strahlung wie Röntgen- oder Gammastrahlung beobachtet werden kann.

Die maximale Änderung der Wellenlänge tritt jedoch bei einem Winkel von $\varphi = 180^\circ$ auf, dem sogenannten "Rückstoß". Da der Cosinus von 180° = -1 ist, ändert sich das Vorzeichen in der Formel $\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right)$ , sodass sich eine größere Wellenlängenänderung ergibt. Diese entspricht $Δλ = 2λ C$

[Bearbeiten] Herleitung in Vierervektor-Schreibweise

4-Impuls des einfallenden Photons + 4-Impuls des Elektrons = 4-Impuls des gestreuten Photons + 4-Impuls des gestreuten Elektrons:

$\begin{pmatrix} \frac{\hbar \omega_0}{c} \\ \vec p_0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \sqrt{p^2+m^2c^2} \\ \vec p \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\hbar {\omega_0}'}{c} \\ \vec {p_0}' \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \frac{\hbar}{c}({\omega_0}-{\omega_0}')+\sqrt{p^2+m^2c^2} \\ -\vec {p_0}'+\vec p_0 +\vec p \end{pmatrix}$

Wegen der Energie- und Impulserhaltung liegt der 4-Impuls des Elektrons $p^\mu\frac{}{}$ nach dem Stoß fest.

Zum Weiterrechnen nutzt man die relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

$p^\mu p_\mu \left(= \frac{E^2}{c^2}-\vec {p^2} \right)= m^2c^2$

$=\left(\frac{\hbar}{c}({\omega_0}-{\omega_0}')+\sqrt{p^2+m^2c^2}\right)^2-\left(-\vec {p_0}'+\vec p_0 +\vec p\right)^2$

[Bearbeiten] Compton-Spektrum und Compton-Kante

Energieverteilung der Compton-Elektronen, bei einfallenden monochromatischen γ-Quanten mit der Energie hf

Werden viele $γ$ -Quanten der Energie $h ν$ nach Compton gestreut (z.B. in einem Szintillator), so ergibt sich ein charakteristisches Energiespektrum der gestreuten Elektronen, wie es in der nebenstehenden Graphik gezeigt wird. Die hierbei auf die Elektronen übertragene Energie ist wegen der Abhängigkeit vom Streuwinkel $\varphi$ kontinuierlich (Compton-Kontinuum), hat jedoch eine scharfe obere Schranke (Compton-Kante), da bei $\varphi$ = 180 Grad ein Maximum an Energie übertragen wird. Aus obigen Formeln errechnet man leicht einen Ausdruck für die Energie des Photons und die kinetische Energie des Elektrons nach der Streuung:

Photon: $E_{\rm \gamma}'(\varphi)=h\nu'(\varphi)=\frac{h\nu}{1+\frac{h\nu}{m_0c^2}(1-\cos\varphi)}$
Elektron: $E_{\rm e^-}'(\varphi)=h\nu-h\nu'(\varphi)=h\nu\left(1-\frac{1}{1+\frac{h\nu}{m_0c^2}(1-\cos\varphi)}\right)$

Das Atom ist nach der Compton-Streuung ionisiert.

Zusätzlich erhält man im Elektronenspektrum einen "Peak" (Spektrallinie) bei der Energie $h ν$ . In diesem Fall wird also die gesamte Energie des Photons auf das Elektron übertragen. Dies ist kein Compton-Effekt mehr, sondern der Photoeffekt.

[Bearbeiten] Anmerkung

Energien von Elektron und Photon bei der Compton-Streuung eines γ-Quants mit hf = 100 keV

Photonen, die auf gebundene Elektronen oder Atomkerne treffen, ändern zwar ihre Bewegungsrichtung, nicht aber ihre Frequenz/Wellenlänge, da die festen Teilchen praktisch keine kinetische Energie erhalten. Dadurch besteht die gestreute Strahlung neben der durch den Compton-Effekt langwelligeren Strahlung auch zu einem Anteil aus Strahlung mit der Ausgangswellenlänge (Thomson-Streuung), deren Intensität vom Ablenkwinkel abhängt. Man beachte, dass für energiereichere Strahlung (beispielsweise Röntgenstrahlung) auch die Hüllenelektronen näherungsweise als frei angesehen werden können.

Beim Compton-Effekt handelt es sich um einen Bruch mit der klassischen Physik. Der klassischen Physik nach müssten die Elektronen durch das Licht nicht angestoßen werden, sondern auf Grund des Wellencharakters des Lichts in Schwingungen versetzt werden, also zu Dipolen werden, welche Strahlung der gleichen Wellenlänge wie das einfallende Licht aussenden. Messungen ergaben, dass dies nicht der Fall ist. Hingegen ist die Comptonstreuung einwandfrei als Stoßprozess zwischen Photon und (quasi-) freiem Elektron beschreibbar. Dies ist ein Beweis dafür, dass Lichtstrahlung auch Teilcheneigenschaften hat (siehe Welle-Teilchen-Dualismus).

[Bearbeiten] Compton-Effekt durch Streuung am Schwerpunkt

Bei der Streuung des Photons am Elektron verliert das Photon in Abhängigkeit vom Streuwinkel Energie und vergrößert entsprechend seine Wellenlänge. Eine Vergrößerung der Wellenlänge eines Photons ist aber eine ungewöhnliche Eigenschaft, da Photonen ihre Energie nur vollständig abgeben können. Dieser Widerspruch lässt sich auflösen, wenn man den Vorgang als Streuung im Schwerpunkt von Photon und Elektron beschreibt. Im Schwerpunktsystem wird das Photon mit der Wellenlänge λ₁ reflektiert und ändert seine Wellenlänge nicht. Hierfür muss man das Bezugssystem in den Schwerpunkt verlegen, wobei sich wegen des Dopplereffekts die Wellenlänge λ₁ ergibt.

Im Schwerpunktsystem wird das Photon um den Winkel β gestreut, seine Wellenlänge λ₁ behält es bei. Das Elektron wird ebenfalls um den Winkel β gestreut und behält im Betrag seine Geschwindigkeit v_s. Die Summe der Einzelimpulse ergibt vorher und nachher 0.

Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist

$v_s = \frac{{p_{photon} + p_{elektron} }}{{m_{photon} + m_{elektron} }} = \frac{{\frac{h}{\lambda } + 0}}{{\frac{h}{{\lambda \cdot c}} + m_0 }} = \frac{{\frac{h}{\lambda }}}{{\frac{h}{{\lambda \cdot c}} + \frac{h}{{\lambda _c \cdot c}}}} = \frac{{\lambda _c }}{{\lambda _c + \lambda }} \cdot c$

wobei $\lambda _c = \frac{h}{{m_0 \cdot c}}$ die Comptonwellenlänge ist.

Die Wellenlänge im Schwerpunktsystem ergibt sich über den relativistischen Dopplereffekt zu

$\lambda _1 = \lambda \cdot \sqrt {\frac{{1 + \frac{{v_s }}{c}}}{{1 - \frac{{v_s }}{c}}}}$ .

Die Geschwindigkeit c des Photons mit der Wellenlänge λ₁ enthält die beiden Komponenten v_px und v_py , die dann über eine relativistische Geschwindigkeitsaddition ins Laborsystem mit den Geschwindigkeiten v_x und v_y übertragen werden. Ebenso verfährt man mit den Geschwindigkeitskomponenten des Elektrons v_sx und v_sy , die nach v_ex und v_ey im Laborsystem transformiert werden.

Schwerpunktsystem

Geschwindigkeiten des Elektrons im Schwerpunktsystem

$v_{sx} = {\rm{ - v}}_{\rm{s}} {\rm{ }} \cdot {\rm{ cos(}}\beta {\rm{)}}$

$v_{sy} = {\rm{ - v}}_{\rm{s}} {\rm{ }} \cdot {\rm{ sin(}}\beta {\rm{)}}$

Geschwindigkeiten des Photons im Schwerpunktsystem

$v_{px} = c \cdot {\rm{ cos(}}\beta {\rm{)}}$

$v_{py} = c \cdot {\rm{ sin(}}\beta {\rm{)}}$

Geschwindigkeiten des Photons im Laborsystem

$v_x = \frac{{v_{px} + v_s }}{{1 + \frac{{v_{px} \cdot v_s }}{{c^2 }}}}$

$v_y = \frac{{v_{py} \cdot \sqrt {1 - {\textstyle{{v_s ^2 } \over {c^2 }}}} }}{{1 + \frac{{v_{px} \cdot v_s }}{{c^2 }}}}$

Geschwindigkeiten des Elektrons im Laborsystem

$v_{ex} = \frac{{v_{sx} + v_s }}{{1 + \frac{{v_{sx} \cdot v_s }}{{c^2 }}}}$

$v_{ey} = \frac{{v_{sy} \cdot \sqrt {1 - {\textstyle{{v_s ^2 } \over {c^2 }}}} }}{{1 + \frac{{v_{sx} \cdot v_s }}{{c^2 }}}}$

Laborsystem

Für die Gesamtgeschwindigkeit und die Richtung des Elektrons gilt

$v_e = \sqrt {v_{ex}^2 + v_{ey}^2 }$ ,

$tan (\alpha ) = \frac{{v_{ey} }}{{v_{ex} }}$ .

Für den Streuwinkel des Photons gilt

$\tan (\delta ) = \frac{{v_y }}{{v_x }}$ , mit $\delta \le \beta$ .

Die Wellenlänge λ´ erhält man über die Energieerhaltung,

$T = \frac{{h c}}{\lambda } - \frac{{h c}}{{\lambda^'{\rm{ }}}} = \frac{{m_0 c^2 }}{{\sqrt {1 - \frac{{v_e^2 }}{{c^2 }}} }} - m_0 c^2$

oder über den Dopplereffekt bzw. der Comptonformel. Das Schwerpunktsystem eignet sich also als Bezugssystem für Stoßprozesse.

[Bearbeiten] Quellen und Referenzen

↑ A. H. Compton in Bull. Nat. Research Council 20 (1922), p. 10
↑ A. H. Compton: A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements in Physical Review 21 (1923), 483-502 Faxsimile

[Bearbeiten] Weblinks

Compton-Effekt - dargestellt in einer Animation
Verschiedene Versuche und Animationen

Von „http://de.wikipedia.org../../../c/o/m/Compton-Effekt_efc1.html“

Kategorien: Teilchenphysik | Quantenphysik