Трапезоидно правило

Из пројекта Википедија

Пример трапезоидног правила

Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла $\int_a^b f(x) dx$ . Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација фунцкије $f (x)$ дужи од тачке $(a, f (a))$ до $(b, f (b))$ . Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.

$f(x) \approx \frac{ f(b) - f(a) }{ b-a } \cdot x + f(a)$

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b \frac{ f(b) - f(a) }{ b-a } \cdot x + f(a) dx$

$\int_a^b f(x) dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}$

[уреди] Грешка

Грешка при оваквој апроксимацији је:

$\left| E_T \right| \le {(b-a)^3 \over 12} \max_{a\le \xi \le b} {\left| f''(\xi) \right|}$

До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке $a\,$ изгледа овако:

$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots$

Односно за тачку $b\,$ :

$f(b) = f(a) + (b-a)f'(a) + \frac{(b-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots$

Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):

${\color{blue} \int_a^b f(x) dx} \approx {\color{red} \frac{h}{2} ( f(a) + f(b) )} = {\color{red} \frac{h}{2} ( f(a) + \underbrace{f(a)+ (b-a)f'(a) + \frac{(b-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots}_{f(b)} )}$

Погледајмо прецизан интеграл:

${\color{blue} \int_a^b f(x) dx} = {\color{blue}\int_a^b \underbrace{f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots}_{f(x)} dx }$

$= {\color{blue} \int_a^b f(a) dx + \int_a^b (x-a)f'(a) dx + \int_a^b \frac{(x-a)^2 f''(a)}{2!}dx + \int_a^b \dots dx}$

$= {\color{blue} (b-a)f(a) + \frac{ (b-a)^2 f'(a) }{2} + \frac{ (b-a)^3 f''(a) } {6} + \dots }$

Њихова разлика је наравно грешка:

${\color{blue} \int_a^b f(x) dx } - {\color{red} \frac{h}{2} ( f(a) + f(b) ) } =$

$= {\color{blue} (b-a)f(a) + \frac{ (b-a)^2 f'(a) }{2} + \frac{ (b-a)^3 f''(a) } {6} + \dots }$

$- {\color{red} \frac{h}{2} ( f(a) + f(a)+ (b-a)f'(a) + \frac{(b-a)^2 f''(a)}{2!} + \dots )} =$

$= -\frac{(b-a)^3}{12} f''(a) + \dots$

Очигледно је да за $h \geq 1\,$ грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за $h<1\,$ је све мања што "се даље иде". Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.

[уреди] Сложено трапезоидно правило

Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)$ ,

што такође можемо написати као:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2n} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\dots+2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right)$ .

Када означимо број тачака са $n$ , a размак између њих са $h = \frac{b-a}{n}$ , онда је грешка сложеног трапезоидног правила:

$\left| E_T \right| \le {(b-a) \over 12}h^2 \max_{a\le \xi \le b} {\left| f''(\xi) \right|}$

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D1%82/%D1%80/%D0%B0/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE.html"

Категорија страница: Интеграли

Трапезоидно правило

Из пројекта Википедија

[уреди] Грешка

[уреди] Сложено трапезоидно правило

Views

навигација

техничке

Претрага

Други језици