Њутн-Коутс формуле

Из пројекта Википедија

У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.

Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције ( $\int_a^b f(x) dx$ ), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили $n + 1$ тачака те функције).

Значи:

$f(x) \approx P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l^n_{i}(x), x_i \in [a,b]$

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b P(x) dx = \int_a^b \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}^n(x) dx$

$f (x i)$ су тачке дате функције за једнако распоређених $n + 1$ апсциса $x i$ у интервалу $[a, b]$ .

f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да "извучемо" суму испред интеграла:

$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n} f(x_{i}) \underbrace{\int_a^b l_{i}^n(x) dx}_{c_i^n}$

$l i (x)$ зависи само од тачака ${x_i, i = 0, \dots, n}$ , али не и од функције $f (x)$ . Наша апроксимација постаје:

$\int_a^b f(x) dx \approx ( b - a ) \sum_{i=0}^{n} c_i^n f(x_{i})$

$c_i^n$ представљају Коутс бројеве, $c_i^n = \frac{1}{b-a} \int_a^b l^n_i(x) dx$ , који имају особине:

$\sum_{i=0}^{n} c_k^n = 1$
$c_i^n = c_{n-i}^n$

За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена ( $f i = f (x i)$ ):

$x_i = a + i \cdot h, i=0,\dots,n$ за $n \geq 1$ , $h = \frac{b-a}{n}$ ,

n + 1

је број тачака;

$x_0 = \frac{a+b}{2}$ за

n = 1

n	име	Формула	Грешка ( $\xi \in [a,b]$ )
1	трапезоидно правило	$\frac{h}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	Симпсоново правило	$\frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3	Правило 3/8	$\frac{3\, h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{3\, h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)$
4	Милнеово правило	$\frac{2\, h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{8\, h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)$

За велики број тачака у интервалу ( $n \geq 5$ ) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за $n = 8$ и $n \geq 10$ добићемо чак негативне тежине.

Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал $[a, b]$ то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D1%9A/%D1%83/%D1%82/%D0%8A%D1%83%D1%82%D0%BD-%D0%9A%D0%BE%D1%83%D1%82%D1%81_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B5_193b.html"

Категорија страница: Математика

Њутн-Коутс формуле

Из пројекта Википедија

Views

навигација

техничке

Претрага

Други језици