Lamberts W-funktion

Wikipedia

Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

f(w) = we^w

där w är ett komplext tal och e^w betecknar exponentialfunktionen.

Innehåll 1 Flervärdhet 2 Metod för ekvationslösning 3 Specifika ekvationer och värden 4 Taylorserie 5 Derivata och primitiv funktion 6 Differentialekvation

[redigera] Flervärdhet

Funktionen

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W₀. Denna funktion uppfyller W₀(0) = 0 och W₀(−1/e) = −1.

[redigera] Metod för ekvationslösning

Lamberts W-funktion uppfyller

och kan därför tillämpas genom att skriva om ekvationer på formen c = xe^x där c är konstant, varefter lösningen ges av x = W(c). Exempelvis kan ekvationen 2^t = 5t lösas genom omskrivningen

[redigera] Specifika ekvationer och värden

De ekvivalenta ekvationerna x = logx och x = e^x har lösningen

Ekvationen x^x = z löses av

och det oändliga tornet av potenser

antar vid konvergens värdet

Några specifika värden är

(omegakonstanten).

[redigera] Taylorserie

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

[redigera] Derivata och primitiv funktion

Derivatan ges av

.

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w e^w. Speciellt gäller

[redigera] Differentialekvation

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen