Integral

Wikipedia

Arean under en funktionskurva är ett typiskt exempel på en integral.

I matematik är en integral ett mått på en funktions sammanlagda värden över ett bestämt område. Integraler används för att beskriva och beräkna geometriska och fysikaliska storheter som längd, area, massa, volym och flöde. Integrering är beräkningen av en integral.

Integral är jämte derivata ett centralt koncept inom matematisk analys. Enligt analysens huvudsats är dessa två operationer i en viss mening varandras motsatser.

Innehåll

1 Geometrisk tolkning
2 Formell definition
3 Integralkalkyl
- 3.1 Analysens huvudsats
- 3.2 Insättningsformeln
4 Se även
5 Externa länkar

[redigera] Geometrisk tolkning

Arean av det område som begränsas av x-axeln och funktionskurvan mellan x = a och x = b (förutsatt att a är mindre än b och att f(x) är positivt för alla x mellan a och b) brukar betecknas med

$S = \int_a^b f(x)\,dx.$

Integralen är i denna mening en generalisering av begreppet area då integralen kan anta negativa värden. Till exempel är

$S = \int_\pi^{2\pi} \sin(x)\,dx = -2$

[redigera] Formell definition

Formellt kan man säga att om $f(x) \geq 0$ så är integralen mellan a och b ett mått på mängden

$S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: a \leq x \leq b, 0\leq y \leq f(x) \}.$

Beroende på exakt hur integralen definieras, och för vilka funktioner som definitionen fungerar för, talas det om Riemann-integraler eller Lebesgueintegraler. I båda fallen är den grundläggande idén att arean approximeras med en summa av delareor av enklare slag och integralen definieras som gränsvärdet när antalet delareor går mot oändligheten. För Riemann-integraler blir definitionen (se bilderna):

$S = \int_a^b{f(x)dx} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$

$\int _b ^a f(x)dx$ definieras som $-\int _a ^b f(x)dx$

[redigera] Integralkalkyl

Integralkalkyl är benämningen på själva uträkningen av specifika integraler. För enklare integraler kan detta ofta göras direkt med hjälp av resultaten från analysens huvudsats, medan mer komplicerade fall kan kräva partiell integrering eller Fourieranalys.

[redigera] Analysens huvudsats

Huvudartikel: Analysens huvudsats

Sats: Om en funktion f är kontinuerlig på intervallet [a,b] och x är ett tal i intervallet [a,b] så är

$S(x) = \int_a^x f(t)dt$

en primitiv funktion till f, det vill säga funktionen S är deriverbar med S'(x) = f(x). Analysens huvudsats gör det möjligt att derivera parameterberoende integraler av formen $\int_a^b f(t)dt$ .

[redigera] Insättningsformeln

Insättningsformeln följer direkt ur analysens huvudsats, och är vad som används i all integralkalkyl.

Sats: Om en funktion f är kontinuerlig i [a,b] och F är en primitiv funktion till f så är

$\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a).$

Exempel: Arean under grafen till funktionen $f (x) = x 2 + 2 x$ på intervallet [2,4] är

$\int_2^4 {x^2+2x\,dx = \left[ {\frac{x^3}{3} + x^2 } \right]} _2^4 = \left(\frac{4^3}{3} + 4^2\right) - \left(\frac{2^3}{3} + 2^2\right) = \frac{92}{3}.$

Med insättningsformeln kan även integraler på formen $S(x)=\int _a ^{f(x)} g(x) dx$ deriveras enligt $\frac{dS}{dx} (x) = \frac{d}{dx} (g(f(x))-g(a)) =\frac{df}{dx}(x) \frac{dg}{dx}(f(x))$ .