Masscentrum

Wikipedia

Inom fysik med tillämpningar, speciellt mekanik, är ett föremåls, eller en kropps, masscentrum, positionen för det viktade medelvärdet av kroppens beståndsdelars positioner. Läget (relativt kroppen) för en kropps masscentrum är således en egenskap hos kroppen. Man kan för vissa ändamål tänka sig att ett kropps hela massa är koncentrerad i dess masscentrum. Att känna till läget för masscentrum hos en kropp är användbart och flera viktiga tillämpningar bygger på att dess läge är känt. Några exempel är analys av stabiliteten hos en kropp som står på ett underlag, balansering av en kropp som roterar, stabilisering av flygplan som flyger i jordens atmosfär, samt beräkning av rörelseenergin hos en kropp som rör sig.

Tyngdpunkten, å andra sidan, är den punkt där den resulterande kraften på en kropp som befinner sig i ett gravitationsfält kan anses angripa. Tyngdpunktens läge (relativt kroppen) beror således såväl på kroppens massfördelning, som egenskaperna hos det gravitationsfältets kroppen befinner sig i.

För det fall att gravitationsfältet är ett parallellt fält med konstant tyngdacceleration, sammanfaller tyngdpunkten med masscentrums läge för godtyckliga kroppar. De flesta gravitationsfält har dock endast approximativt den egenskapen. Eftersom attraktionskraften av gravitation kring en kropp avtar med avståndet i kvadrat, är normalt inte tyngdaccelerationen konstant till sitt belopp. Kring en kropp kommer dessutom gravitationsfältet att vara riktat huvudsakligen i radiell led, vilket innebär att även tyngdaccelerationens riktning varierar kring kroppen. I de flesta fall kommer därmed tyngdpunkten för kroppar som befinner sig i ett gravitationsfält inte att sammanfalla med kroppens masscentrum.

I tillräckligt små områden kan approximationen med ett parallellt gravitationsfält vara en utmärkt förenkling. Exempelvis är detta fallet för många föremål som befinner sig på eller i närheten av jorden. Då ett föremål är mycket mindre än jorden kommer de olika delarna av föremålet att utsättas för i stort sett samma tyngdacceleration, både till riktning och belopp. Därmed kommer tyngdpunkten för de flesta normala kroppar att ligga mycket nära kropparnas respektive masscentrum.

Då tyngdpunkten inte sammanfaller med masscentrum kan ett moment kring kroppens masscentrum uppstå på grund av de gravitationskrafter som kroppen utsätts för. Detta moment påverkar kroppens rörelse. För föremål på jorden är dessa moment mycket små och kan normalt försummas, speciellt i jämförelse med andra krafter och moment som kroppar utsätts för av exempelvis hantering, styrdon eller vindar. För satelliter är dock detta av stor betydelse. Eftersom de övriga moment som påverkar en satellit är så små, kan gravitationsinducerade moment ha en avgörande effekt på stabiliteten hos en satellits orientering.

[redigera] Definition av masscentrum

Masscentrum för en grupp av punktmassor är det viktade medelvärde av punkternas position. Vikten för varje punkt är punktens massa.

Om $\mathbf{x}$ representerar en godtycklig punkts läge relativt en referenspunkt origo, gäller att masscentrums läge relativt origo ges av

$\bar{\mathbf{x}} = \frac{1}{m} \sum_{i} m_i\mathbf{x}_i$

där summan löper över alla punktmassor som ingår i gruppen och totala massan är

m =	∑	m_i
	i

Komponenterna av både $\mathbf{x}$ och $\bar{\mathbf{x}}$ i en viss bas beräknas som skalärprodukten av respektive vektor med de tre enhetsbasvektorer som används, säg $\mathbf{e}_j$ för $j = 1,2,3$ .

Masscentrums läge för en kropp som har en distribuerad, ickenegativ, densitet $\rho(\mathbf{x}) \ge 0$ i hela dess volym V, är definierat av

$\bar{\mathbf{x}} = \frac{1}{m} \int_{V} \rho(\mathbf{x})\mathbf{x}\,\mathrm{d}V$ ,

där massan

$m = \int_{V} \rho(\mathbf{x})\,\mathrm{d}V$ .

De vektorekvationer som angivits ovan kan delas upp i skalära samband. Komponenterna av $\bar{\mathbf{x}}$ är i den bas vi nämnt tidigare $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ som var och en kan beräknas med

$\bar{x} = \frac{1}{m} \int_{V} x\rho(x, y, z)\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$

$\bar{y} = \frac{1}{m} \int_{V} y\rho(x, y, z)\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$

$\bar{z} = \frac{1}{m} \int_{V} z\rho(x, y, z)\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$ .

Notera att läget hos referenspunkten origo inte har någon effekt på resultatet.

[redigera] Exempel

Föremål som roterar, exempelvis de roterande delarna i en elmotor eller hjul på fordon som bilar, kallas statiskt balanserade om deras masscentrum ligger på rotationsaxeln. Detta är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för att vibrationer ej ska uppstå. Föremålets övriga tröghetsegenskaper, dess tröghetsmoment, som beror på hur dess massa är fördelad, måste också uppfylla vissa krav. Att statisk balans är viktigt vet alla som betraktat centrifugeringsfasen på en tvättmaskin med horisontell axel. Då lägger sig gärna mycket tvätt i en klump och när varvtalet ökar kommer mer eller mindre kraftiga vibrationer att uppstå. Även packningen av tvätt i en centrifug med vertikal axel är känslig för ojämn fördelning av tvätten. Trots att centrifuger är konstruerade att tåla viss ojämn fördelning kan kraftiga vibrationer uppstå om tvätten är så fördelad att masscentrum hos kombinationen av centrifugens rotor och tvätten hamnat alltför långt ifrån centrifugens rotationsaxel. Oftast känner centrifugen av detta och stannar så tvätten kan packas om mer jämnt.

Balansen hos ett föremål som står på ett underlag bestäms av dess masscentrums läge, under förutsättning att gravitationsfältet har vissa egenskaper, vilket man med stor noggrannhet kan anta på jorden. För balans måste projektionen längs gravitationsfältet av masscentrums läge, ned på det underlag föremålet står på, befinna sig inom den yta som omgärdas av föremålets stödpunkter.

Ett flygplan som flyger påverkas av tryckkrafter från den omgivande luften, samt tyngdkraft från gravitationsfältet som det rör sig i. Om vi antar att gravitationsfältet ger upphov till ett parallellkraftfält, kommer momentet från gravitationskrafterna kring flygplanets masscentrum att vara noll. För att rotera flygplanet används krafter från den omgivande luften som ger upphov till ett moment. Då flygplanet ska flyga rakt fram utan att svänga måste det moment kring masscentrum, som krafterna från den omgivande luften ger upphov till, vara noll, åtminstone i medeltal. För att flygplanet ska vara stabilt måste de moment som uppstår då flygplanet utsätts för störningar, till exempel nos upp, vara sådana att störningen minskar. Eftersom krafter och moment på ett flygplan beror på dess form och fart, är det viktigt att konstruera och lasta flygplan så att dess masscentrum i flygfärdigt tillstånd ligger inom den volym, eller de gränser, som aerodynmiken medger. Om inte detta görs kan flygplanets vara omöjligt att flyga, alternativt bete sig onormalt, och olyckor kan lätt ske.

En kropp som rör sig har en rörelseenergi som är summan av rörelseenergin hos dess delar. För stela kroppar som endast rör sig rätlinjigt, det vill säga translaterar, kommer alla delar att ha samma hastighet. Därmed kan beräkningen av rörelseenergi förenklas till att omfatta en massa med masscentrums hastighet, vilket väsentligen behandlas som en partikel där

$E_\mathrm{k} = \frac{1}{2}m{v}^2_{\mathrm{c}}$ .

För en kropp som endast roterar kommer rotationsrörelsen att innehålla energi. Denna energimängd kan för stela kroppar beräknas genom kunskap om kroppens vinkelhastighet och egenskaper hos kroppens massfördelning. För stela kroppar som både translaterar och roterar, kan totala energin beräknas som summan av translationsenergin hos en tänkt punktmassa med samma massa som kroppen och vars hastighet är samma som kroppens masscentrums hastighet, samt rotationsenergi som beräknas på samma sätt som för en stel kropp som endast roterar.

[redigera] Se även

Pappus sats

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../m/a/s/Masscentrum.html

Kategori: Mekanik

Masscentrum

Wikipedia

[redigera] Definition av masscentrum

[redigera] Exempel

[redigera] Se även

Views

Navigering

Sök

Andra språk