Students t-fördelning

Wikipedia

Students t-fördelning eller t-fördelning är en statistisk fördelning som används färmst inom bioanalys för att testa signifikans för undersökningar med små populationer.

Innehåll

1 Historik
2 Uppkomst
3 Tabell över utvalda värden
4 Källor:

[redigera] Historik

T-fördelnigen upptäcktes av statistikern och kemisten William Sealy Gosset som arbetade på bryggeriföretaget Guinness i Storbritannien. Han använde fördelningen för att kunna göra kvalitetskontroll av ölen med begränsade stickprov och för att undvika att läcka denna industriella hemlighet så publicerade han sina resultat under pseudonymen Student. Gosset utvecklade inte teorin så långt utan det var statistikern Ronald Fischer som senare byggde på teorin till att innefatta täthetsfunktionen vilken används i dagens beräknnigar.

[redigera] Uppkomst

Antag att X₁, ..., X_n är statisktiskt oberoende slumpmässigt utvalda variabler som är normalfördelade med ett väntevärde μ och variansen σ². Låt

$\overline{X}_n = (X_1+\cdots+X_n)/n$

vara det uppmätta medelvärdet och

${S_n}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2$

vara den uppmätta variansen. Det går då att visa att kvantiteten

$Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1 (vilket kan skrivas N(0,1)), eftersom det uppmätta medelvärdet $\overline{X}_n$ är normalfördelat med medelvärdet $μ$ ochstandardavvikelsen $\sigma/\sqrt{n}$ . Gosset studerade en relaterad kvantitet,

$T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}}$

och visade att T har täthetsfunktionen

$f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$

där $ν$ är lika med n − 1. Fördelningen av T kallas nu för t-fördelningen. Parametern $ν$ brukar betecknas med antalet frihetsgrader. Fördelningen beror på $ν$ , men inte på $μ$ eller $σ$ ; oberoendeförhållandet gentemot $μ$ och $σ$ är vad som gör t-fördelningen viktig i såväl teori och praktik. $Γ$ är den så kallade Gammafunktionen.

[redigera] Tabell över utvalda värden

Följande tabell är enlista över t-fördelningen med ν frihetsgraderför 90%-, 95%-, 97.5%- och 99.5%-iga "en-sidiga" konfidensintervall.

Notera att den sista raden med oändligt många frihetsgrrader som ger en avgörande poäng: en t-fördelning med oändligt många frihetsgrader är en normalfördelning i enlighet med centrala gränsvärdessatsen.

$ν$	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
$\infty$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291