ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้ต้องการเก็บกวาด ตรวจสอบ ปรับปรุง แก้ไขรูปแบบ เพิ่มแหล่งอ้างอิง ใส่หมวดหมู่ หรือภาษาที่ใช้
ส่วนใดส่วนหนึ่งหรือในหลายส่วนด้วยกัน
คุณสามารถช่วยตรวจสอบ และแก้ไขบทความนี้ได้ด้วยการกดที่ปุ่ม แก้ไข ด้านบน
กรุณาเปลี่ยนไปใช้ป้ายข้อความอื่น เพื่อระบุสิ่งที่ต้องการตรวจสอบ หรือแก้ไข
ดูรายละเอียดเพิ่มเติมที่ วิธีแก้ไขหน้าพื้นฐาน คู่มือการเขียน และ นโยบายวิกิพีเดีย ซึ่งสามารถดูตัวอย่างบทความได้ที่ บทความคุณภาพ และเมื่อแก้ไขตามนโยบายแล้ว สามารถนำป้ายนี้ออกได้

ในทฤษฎีการวัด, กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่าปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้าง เซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณ จากสองปริภูมิทอพอโลยี นั่นเอง.

[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $(X 1,Σ 1,μ 1)$ และ $(X 2,Σ 2,μ 2)$ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ $(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2, \mu_1 \times \mu_2)$ ดังนี้

$X_1 \times X_2$ คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ $X 1$ และ $X 2$
พีชคณิตซิกมาผลคูณ: $\Sigma_1 \times \Sigma_2$ คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี $A_1 \times A_2$ เป็นสมาชิก โดย $A_1 \in \Sigma_1$ และ $A_2 \in \Sigma_2$ .
เมเชอร์ผลคูณ: $\mu_1 \times \mu_2$ นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ

$(\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)$ เมื่อ

$B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2.$

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า $\mu_1 \times \mu_2$ มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

$(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\,d\mu_2 = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,d\mu_1,$

สำหรับทุก ๆ เซตที่สามารถวัดได้ E โดย E_x = {y∈X₂|(x,y)∈E}, และ E^y = {x∈X₁|(x,y)∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%9B/%E0%B8%A3/%E0%B8%B4/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93.html".

หมวดหมู่: หน้าที่ต้องการความช่วยเหลือ | บทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ | ทฤษฎีการวัด

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์

Views

ป้ายบอกทาง

ค้นหา

ภาษาอื่น