Гільбертів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Комплексний гі́льбертів про́стір (на честь Давіда Гільберта) — це топологічний векторний простір $H$ , у якому визначена операція ермітового скалярного добутка і який є повним відносно до відповідної топології. Поняття гільбертового простора є узагальненням поняття скінченовимірного евклідова простора. Типовий гільбертів простір — нескінченовимірний і складається із функцій. Стан квантово-механічної системи описується за допомогою певного гільбертова простору.

Ця стаття в процесі редагування на короткий час.

Будь ласка, не редагуйте та не змінюйте її, оскільки Ваші зміни можуть бути втрачені.

Якщо ця сторінка не редагувалася недавно (кілька годин!), будь ласка приберіть цей шаблон.

Це повідомлення призначено до допомоги скорочення конфліктів редагування; будь ласка приберіть його між сесіями редагування, щоб дати іншим користувачам можливість поліпшити цю сторінку.

Зміст

1 Означення
- 1.1 Зауваження
2 Приклади
3 Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі
- 3.1 Рівність Парсеваля
4 Дивись також
5 Література

[ред.] Означення

Назва «гільбертів простір» застосується до двох цілком аналогічних концепцій, що є, відп., нормованим векторним простором над полем $\mathbb{R}$ дійсних чисeл або над полем $\mathbb{C}$ комплексних чисел.

1. Дійсний гільбертів простір — це векторний простір $H,$ у якому визначена операція скалярного добутка, тобто симетричне, білінійне та позитивно-означене відображення

$H\times H\to\mathbb{R}, \quad u,v\mapsto(u,v).$

«Білінійне» означає, що виконуються властивості

$(ru_1+su_2,v)=r(u_1,v)+s(u_2,v),\quad (u,rv_1+sv_2)=r(u,v_1)+s(u,v_2), \quad r,s\in\mathbb{R},$

«симетричне» і «позитивно-означене», що виконується

$(u,v)=(v,u), \quad (u,u)>0$ для $u\ne\vec{0}.$

На $H$ визначена норма $\|u\|=\sqrt{(u,u)},$ що перетворює $H$ на нормований топологічний векторний простір і цей простір має бути повним стосовно норми (кожна послідовність Коші — збіжна).

2. Комплексний гільбертів простір — це векторний простір $H,$ у якому визначена операція ермітового скалярного добутка, тобто ермітово-симетричне, сесквілінійне та позитивно-означене відображення

$H\times H\to\mathbb{C}, \quad u,v\mapsto (u,v).$

«Сесквілінійне» означає, що виконуються властивості

$(ru_1+su_2,v)=\bar{r}(u_1,v)+\bar{s}(u_2,v),\quad (u,rv_1+sv_2)=r(u,v_1)+s(u,v_2), \quad r,s\in\mathbb{C},$

«ермітово-симетричне» і «позитивно-означене», що виконується

$(u,v)=\overline{(v,u)},\quad (u,u)>0$ для $u\ne\vec{0}.$

На $H$ визначена норма $\|u\|=\sqrt{(u,u)},$ що перетворює $H$ на нормований топологічний векторний простір і цей простір має бути повним стосовно норми.

Лінійне відображення $L:H_1\to H_2$ між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воне зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів $u,v\in H_1,$ виконується рівність $(L (u), L (v)) = (u, v).$ За допомогою тотожності паралелограму, доводиться, що $L$ є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто $\|L(v)\|=\|v\|$ для будь-якого $v\in H_1.$ Ізометрія між двома гільбертовими просторами, яка бієктивна, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

[ред.] Зауваження

Із означення негайно випливає, що гільбертів простір є зокрема банаховим простором.
Застережемо, що існують дві протилежні конвенції щодо ермітового скалярного добутка. А саме, він або напівлінійний відносно першого аргумента і лінійний відносно другого, як у наведеному вище означенні (переважно, у квантовій механіці), або, навпаки, напівлінійний відносно другого аргумента і лінійний відносно першого (переважно, у функціональному аналізі).
Якщо окремо не промовлено, всі твердження у цій статті стосуються як дійсних, так і комплексних гільбертових просторів.
Деякі автори (переважно, у фізиці) додають до аксіом гільбертова простору нескінченовимірність та сепарабельність. Таким чином, за їх означенням існує лише один клас ізоморфізму гільбертових просторів, див. нижче.

[ред.] Приклади

1. Будь-який скінченовимірний евклідів простір є дійсним гільбертовим простором. Так само, будь який скінченовимірний ермітів простір є комплексним гільбертовим простором.

2. Простір $l 2,$ що складається з квадратично-підсумовнихпослідовностей комплексних чисел

$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad \|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n\geq 1}|x_n|^2<\infty,$

із ермітовим скалярним добутком

$(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n\geq 1}\overline{x_n}y_n$

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що $(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,$ тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського (англ.en:Cauchy-Schwartz inequality), застосованої до перших $n$ членів послідовностей $\mathbf{x}$ і $\mathbf{y}.$ Отож, отримуємо, що

$|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|.$

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір $l 2$ — повний і, таким чином, задовільняє всім аксіомам гільбертова простору.

3. Гільбертів простір $L 2 [ - π,π]$ квадратично-інтегровуваних за Лебегом функцій на відрізку $[ - π,π]$ утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітова скалярного добутку на $L 2 [ - π,π]:$

$(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\overline{f(x)}g(x)dx.$

[ред.] Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі $H$ можна ввести систему коордінат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою обрання ортонормального базиса у $H .$

Система векторів $\{u_i: i\in I\}$ гільбертовa просторa $H,$ що індексується множиною $I,$ називається ортогональною, якщо $(u i, u j) = 0$ для будь-яких $i\ne j\in I$ і ортонормальною, якщо додатково $(u i, u i) = 1$ для будь-якого $i\in I.$ Таким чином, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертовa просторa одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у $H .$ Повна ортонормальна система векторів гільбертовa просторa $H$ називається ортонормальним базисом у $H .$ Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче. Координати вектора $w\in H$ відносно данного ортонормального базису — це скаляри $a_i=(u_i,w), i\in I.$ Вектор $w$ повністю означений своїми коордінатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

$w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.$

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису $\{u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots\},$ будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір $H$ стає ізоморфним до $l 2 .$ Дійсно, розглянемо відображення

$L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},$

яке зіставляє будь-якому вектору $v\in H$ послідовність його коордінат відносно ортонормального базису $\{u_n:n\in\mathbb{N}\}.$ Тоді $L$ — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом $l 2 .$ Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

[ред.] Рівність Парсеваля

Припустимо, що $\{u_1,u_2,\ldots\}$ — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі $H .$ Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів $v \in H:$

$\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),$

де сума розповсюджується на всі елементи данної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує за праву частину, цей факт називається нерівностю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

$2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad$ де $a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1$

— коефіцієнти Фур'є дійсної функції $f(x), -\pi\leq x\leq\pi.$ За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції $\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\mathbb{Z}\}$ утворюють ортонормальний базис у означенному вище комплексному гільбертовому просторі $L 2 [ - π,π].$