Банахів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Банахів простір - простір, названий так на честь Стефана Банаха, центральний об'єкт в функціональному аналізі. Банахові простори - це зазвичай нескінченновимірні простори, елементами яких є математичні функції.

Зміст

1 Означення
2 Приклади
3 Лінійні оператори
4 Дуальний простір
5 Зв'язок із Гільбертовим простором
6 Похідні
7 Узагальнення
8 Посилання
9 Дивіться також

[ред.] Означення

Банахові простори - це повні нормовані векторні простори. Це означає, що Банахів простір є векторним простором $V$ над полем дійсних або комплексних чисел з нормою $||\cdot||$ такою, що кожна послідовність Коші (фундаментальна послідовність) є збіжною в $V$ (за метрикою $d(x,\ y)=||x-y||$ ).

[ред.] Приклади

Далі будемо позначати через $K$ одне з полів - $\mathbb R$ або $\mathbb C$ .

Відомі Евклідові простори $K n$ , де Евклідова норма вектора $x=(x_1,\dots, x_n)$ визначається формулою

$||x||=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i|^2}$

Простір усіх неперервних функцій $f : [a, b] \to K$ , визначених на закритому інтервалі $[a,\,b]$ , є Банаховим простором, якщо ми визначимо норму як

$||f|| = \textrm{sup} \{ |f(x)| : x\in [a,\, b] \}.$

Це - норма, оскільки неперервні функції, визначені на закритому інтервалі, є обмеженими. Простір є повним за цією нормою. Одержаний Банахів простір позначається $C [a, b]$ . Цей приклад можна узагальнити до простору $C (X)$ усіх неперервних функцій $X\to K$ , де $X$ - компактний простір, або простору всіх обмежених неперервних функцій $X\to K$ , де $X$ - будь-який топологічний простір, або до простору $B (X)$ всіх обмежених функцій $X\to K$ , де $X$ - будь-яка множина. В усіх цих прикладах можна множити функції, залишаюсь у тому самому просторі: всі ці приклади є фактично унітарними Банаховими алгебрами.

Якщо $p\ge 1$ - дійсне число, ми можемо розглядати простір усіх нескінчених послідовностей $(x_1, x_2, x_3, \dots)$ елементів $K$ таких, що нескінчені ряди $\sum |x_i|^p$ є збіжними. Корінь $p$ -го степеня зі значення цього ряду за означенням є $p$ -нормою послідовності. Цей простір разом із означеною нормою є Банаховим простором і позначається $l p$ .

Банахів простір $l^ \infty$ складається з усіх обмежених послідовностей елементів з $K$ . За норму такої послідовності можна взяти верхню межу абсолютних значень членів послідовності.

Також, якщо p ≥ 1 - дійсне, можемо розглядати всі функції f : [a, b] → K такі, що |f|^p є інтегровною за Лебеґом. За норму f беруть корінь p-го степеня з цього інтеграла. Сам по собі цей простір не є Банаховим простором, оскільки є ненульові функції, норма яких дорівнює нулеві. Ми визначаємо співвідношення еквівалентності таким чином: f і g є еквівалентними тоді й тільки тоді, коли норма різниці f - g дорівнює нулеві. Тоді множина класів еквівалентності утворює Банахів простір, який позначають L ^p[a, b]. Тут суттєво застосовувати інтеграл Лебеґа, а не Римана, оскільки Риманів інтеграл не дає повного простору. Ці приклади можна узагальнити - див. Простір L^p

Якщо X і Y - два Банахові простори, тоді можна утворити їх пряму суму $X \oplus Y$ , що також є Банаховим простором. Цю конструкцію можна узагальнити до прямої суми довільного числа Банахових просторів.

Якщо M є закритим лінійним підпростором Банахового простору X, тоді частка Банахова простору і цього підпростору X/M також є Банаховим простором.

Нарешті, кожен Гільбертів простір є Банаховим простором.
Зворотне твердження не є правильним.

[ред.] Лінійні оператори

Якщо V та W - Банахові простори над одним і тим самим полем K, сукупність усіх неперервних K-лінійних відображень або лінійних операторів A : V → W позначається L(V, W). Зверніть увагу на те, що в нескінченновимірних просторах не всі лінійні відображення автоматично є лінійними. L(V, W) є векторним простором. Якщо взяти за норму ||A|| = sup { ||Ax|| : x ∈ V, ||x|| ≤ 1 }, його можна розглядати як Банахів простір.

Простір L(V) = L(V, V) парних форм унітарної Банахової алгебри. Операція множення - композиція лінійних відображень.

[ред.] Дуальний простір

Якщо V є Банаховим простором, і K - є полем (дійсним чи комплексним), тоді саме K є Банаховим простором (якщо брати абсолютну величину за норму), і ми можемо ввести дуальний простір до V як V' = L(V, K). Це також - Банахів простір. Він може застосовуватися для визначення нової топології на V - слабкої топології.

Існує природне відображення F з V в V'

F (x)(f) = f (x)

для всіх x в V та f в V'. Згідно з теоремою Гана-Банаха це відображення є ін'єкцією (відображенням "в"). Якщо воно також є сюр'єкцією (відображенням "на"), тоді Банахів простір V називають рефлексивним простором. Рефлексивні простори мають багато важливих геометричних властивостей. Простір є рефлексивним тоді й лише тоді, коли дуальний їх дуальні простори є рефлексивними, а це буває тоді й лише тоді, коли їх одинична куля є ком пактом у слабкій топології.

Наприклад, $l p$ є рефлексивним для $1 < p < \infty$ , але $l 1$ і $l^{\infty}$ не є рефлексивними. Дуальний простір до $l p$ є $l q$ , де p та q зв'язані формулою (1/p) + (1/q) = 1. Дивіться Простір L^p.

[ред.] Зв'язок із Гільбертовим простором

Як було сказано вище, кожен Гільбертів простір є Банаховим простором, оскільки за означенням Гільбертів простір є повним за нормою, пов'язаною з його внутрішнім добутком.

Необхідною та достатньою умовою для того, щоб зворотне твердження справджувалося, тобто, щоб Банахів простір також був Гільбертовим простором, є тотожність паралелограма:

$\|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2(\|u\|^2 + \|v\|^2)$

для всіх u та v в нашому Банаховому просторі V, де ||*|| є нормою у V.

Якщо норма Банахового простору задовольняє цю тотожність, цей простір також є Гільбертовим із внутрішнім добутком, заданим поляризаційною тотожністю. Якщо V є дійсним Банаховим простором, поляризаційна тотожність така:

$(u,v) = \frac{1}{4} (\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2)$

тоді як для комплексного Банахового простору V поляризаційна тотожність -

$(u,v) = \frac{1}{4} (\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2 - i(\|u+iv\|^2 - \|u-iv\|^2))$

для того, щоб побачити, чому паралелограм передбачає, що форма, визначена поляризаційною тотожністю, насправді є повним внутрішнім добутком, алгебраїчно перевіряють, чи є ця форма адитивною, звідки за математичною індукцією випливає, що форма є лінійною над цілими та раціональними числами. Далі, оскільки кожне дійсне число є границею деякої послідовності Коши раціональних чисел, повнота норми поширює лінійність на всю дійсну пряму.

У випадку комплексних чисел можна також перевірити, що білінійна форма є лінійною за i в одному з аргументів, та спряжено-лінійною в іншому.

[ред.] Похідні

Можна визначити похідну функції f : V → W, що відображає один Банахів простір в інший. Інтуїтивно, якщо x є елементом V, похідна від f в точці x є неперервним лінійним відображенням, що є наближенням f в околі точки x

Формально f зветься диференційовною в x, якщо існує неперервне лінійне відображення A : V → W таке, що

$\lim_{h \to 0} \frac{ \| f(x + h) - f(x) - A(h) \| }{ \|h\| } = 0$

Границя тут береться по всіх послідовностях ненульових елементів в $V$ , що збігаються до 0.
Якщо границя існує, пишемо $D f (x) = A$ та називаємо це похідною $f$ в точці $x$ .

Поняття похідної є фактично узагальненням звичайної похідної від функцій R → R, адже лінійні відображення з R в R є просто множенням на дійсні числа.

Якщо f є диференційовною в кожній точці x простору V, тоді Df : V → L(V, W) є іншим відображенням одного Банахового простору в інший (взагалі-то не лінійним відображенням!) і, можливо, також є диференційовним, таким чином визначаючи похідні вищих порядків від f. n-ту похідну в точці x можна розглядати як полілінійне відображення Vⁿ → W.

Диференціювання є лінійною операцією в такому сенсі: якщо $f$ та $g$ - два відображення V → W, що є диференційовними в точці x, і r та s є скалярами з K, тоді rf + sg є диференційовним в x, і $D(r f + s g)(x) = r D(f)(x) + s D(g)(x)$ .

В цьому контексті також справджується правило ланцюга: якщо f : V → W диференційоване в точці x в V, і g : W → X є диференційовним в f(x), композиція g o f є диференційовною в x, і похідна є композицією похідних:

$D(g \circ f)(x) = D(g)(f(x)) \circ D(f)(x)$

[ред.] Узагальнення

Декілька важливих у функціональному аналізі просторів, наприклад, простір усіх нескінчених багатократно диференційовних функцій R → R або простір всіх розподілів на R є повними, але не нормованими векторними просторами, що відтак не є Банаховими просторами. У просторі Фреше існує повна метрика, тоді як простори LF є повними рівномірними векторними просторами, що виникають як границі просторів Фреше.