Спектр оператора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Хай A - оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор R(λ) = (A − λI) ^{− 1}, що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і безперервний. Безліч регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини - спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині .

Усередині спектру оператора можна виділяти частини, не однакові по своїх властивостях. Однією з основних класифікацій спектру є наступна:

1. дискретним (точковим) спектром називається множина всіх власних значень оператора A;
2. неперервним спектром називається безліч значень λ, при яких резольвента (A − λI) ^{− 1} визначена на всюду щільній множині в E, але не є безперервною;
3. остаточним спектром називається безліч точок спектру, що не входять ні до дискретної, ні до безперервної частин.

Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральным радіусом цього оператора і позначається через r(A). При цьому виконується рівність .

Резольвента є голоморфною операторнозначною функцією на резольвентній множині. Зокрема, при λ > r(A) вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці z = 0.