لکیری آزادی

وکیپیڈیا سے

ایک متغیر $\ t$ کے تفاعل (فنکشن=function) کو ہم $\ f(t)$ لکھتے ہیں۔ اگر ایسے ساکن اعداد $\ a, \, b$ ہوں، جن کی مدد سے تفاعل $\ f(t)$ کو دوسرے تفاعل $\ g(t), h(t)$ کے لکیری (راست) جوڑ کے طور پر لکھا جا سکے

$\ f(t)=a \, g(t) + b \, h(t)$

تو تفاعل $\ f(t)$ کو باقی تفاعل $\ g(t), \, h(t)$ پر لکیری منحصر (آزاد نہیں) کہا جاتا ہے۔ اگر تفاعل $\ f(t)$ کو اس صورت میں نہ لکھا جا سکے، تو تفاعل $\ f(t)$ کو باقی تفاعل $\ g(t), \, h(t)$ سے "لکیری آزاد" کہا جائے گا۔

اگر تفاعل $\ \{f_n(t)\}, n=0,1,\cdots$ میں سے کسی بھی تفاعل کو باقی ماندہ تفاعل کے راست جوڑ کے طور پر نہ لکھا جا سکتا ہو، تو ان تفاعل کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

[ترمیم] سمتیہ کی لکیری آزادی

سمتیہ مجموعہ $v 0, v 1,..., v n - 1$ کے لکیری جوڑ کی اس مساوات

$\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1+... + \alpha_{n-1} v_{n-1} = \mathbf{0}$

کا ایک حل یہ ہے

$\alpha_0 =0, \, \alpha_1 =0, ..., \alpha_{n-1} =0$

اگر یہی واحد ممکن حل ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد کہلائے گا۔ اگر اس کے علاوہ بھی کوئی حل ممکن ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری غیر آزاد ہو گا۔ غیر آزادی کی صورت میں ان میں سے کسی بھی سمتیہ کو باقی ماندہ سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنا ممکن ہو جائے گا۔

[ترمیم] میٹرکس کی قطاریں اور ستون

یہی اصول کسی میٹرکس کی قطاروں (اور ستونوں) پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ اگر کسی میڑکس کی کوئی قطار باقی ماندہ قطاروں کے راست جوڑ پر لکھی جا سکے تو یہ قطار باقی قطاروں پر لکیری منحصر ہو گی (بدیگر "لکیری آزاد" کہلائے گی)۔ اگر کسی میٹرکس کی کوئی بھی قطار باقی ماندہ قطاروں سے راست جوڑ کے زریعہ حاصل نہ کی جا سکتی ہو، تو قطاروں کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

میٹرکس A کے تمام ستونوں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے لازمی ہے کہ مساوات $A X = 0$ کا واحد ممکن حل $X = 0$ ہو۔ یعنی

$AX=\mathbf{0} \,\, \Rightarrow X=\mathbf{0}$

اگر صفر سمتیہ کے علاوہ بھی کوئی حل ہو، تو ستون باہمی لکیری آزاد نہیں ہونگے۔ اسی طرح میٹرکس کی تمام قطاروں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے ضروری ہے کہ

$A^tY=\mathbf{0} \,\, \Rightarrow Y=\mathbf{0}$

جہاں $A t$ میٹرکس $A$ کے پلٹ کو ظاہر کرتا ہے۔

[ترمیم] اور دیکھو

[ترمیم] بیرونی ربط

سافٹوئیر سائیلیب کے حوالے سے راست الجبرا کا ایک سبق ۔ح‌ٹ‌م‌ل

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%84/%DA%A9/%DB%8C/%D9%84%DA%A9%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%D8%A2%D8%B2%D8%A7%D8%AF%DB%8C.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات | دس بڑے

لکیری آزادی

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم] سمتیہ کی لکیری آزادی

[ترمیم] میٹرکس کی قطاریں اور ستون

[ترمیم] اور دیکھو

[ترمیم] بیرونی ربط

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں