Cấp số cộng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, một cấp số cộng(tiếng Anh: arithmetic progression hoặc arithmetic sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện: hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11, ... là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2. Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần thử của nó cũng được gọi là các số hạng.

[sửa] Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử $a 1$ và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

$\ a_n = a_1 + (n - 1)d.$

[sửa] Tổng

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có:

$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.$

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a_1 với a_n, của a_2 với a_n-1, ... Một câu chuyện kể rằng Carl Friedrich Gauss đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên (5050).

Chứng minh:

$S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d$

$S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$

$\ 2S_n=n(a_1+a_n)$

$S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$ .

$S_n=\frac{n( 2a_1 + (n-1)d)}{2}$ .

[sửa] Tích

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử $a 1$ với công sai $d$ , and $n$ là

$a_1a_2\cdots a_n$	= $a_1(a_1+d)(a_1+2d)...\left[(a_1+(n-1)d \right]$
	= $d^n \left(\frac {a_1} d \right)\left (\frac {a_1} d+1 \right) \left(\frac {a_1} d+2 \right)...\left[\frac {a_1} d+(n-1) \right]$
	= $d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}$
	= $d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },$