三角形分布

维基百科，自由的百科全书

**三角形分布**
zh-cn:概率;zh-tw:機率密度函數
累積分佈函數
參數	$a:~a\in (-\infty,\infty)$ $b:~b>a\,$ $c:~a\le c\le b\,$
Support	$a \le x \le b \!$
zh-cn:概率密度函數;zh-tw:機率密度函數	$\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$
累積分佈函數	$\left\{ \begin{matrix} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$
期望值	$\frac{a+b+c}{3}$
中位數	$\left\{ \begin{matrix} a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} \end{matrix} \right.$
眾數	$c\,$
方差	$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$
偏度	$\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$
峰度	$\frac{12}{5}$
信息熵	$\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)$
動差生成函數	$2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
特性函数	$-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$

在概率论与统计学中，三角形分布是低限为 a、众数为 c、上限为 b 的连续概率分布。

$f(x|a,b,c)=\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$

[编辑] 特例

[编辑] 已知两点

当 c=a 或者 c=b，分布就可以进行简化。例如，如果 a=0、b=1 并且 c=1，那么上面的方程简化为：

$\left.\begin{matrix}f(x) &=& 2x \\ \\ F(x) &=& x^2 \end{matrix}\right\} \mathrm{for\ } 0 \le x \le 1$

$\begin{matrix} E(X) &=& \frac{2}{3} \\ & & \\ \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{18} \end{matrix}$

[编辑] 两个标准一致变量的分布

a=0、b=1 且 c=0.5 的分布为 $X = \frac{X_1+X_2}{2}$ ，其中 $X 1, X 2$ 是两个連續型均勻分佈的随机变量。

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 4x & \mathrm{for\ }0 \le x < \frac{1}{2} \\ \\ 4-4x & \mathrm{for\ }\frac{1}{2} \le x \le 1 \end{matrix}\right.$

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2 & \mathrm{for\ }0 \le x < \frac{1}{2} \\ \\ 1-2(1-x)^2 & \mathrm{for\ }\frac{1}{2} \le x \le 1 \end{matrix}\right.$

$\begin{matrix} E(X) &=& \frac{1}{2} \\ \\ \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{24} \end{matrix}$

[编辑] 三角形分布的应用

三角形分布通常用于表述只有优先采样数据的人口信息，尤其是已知变量之间的关系但是由于数据的收集成本太高而缺少采样数据的场合。这通常是根据已知最小值与最大值从而推算合理的常见值。

[编辑] 商务模拟

三角形分布经常用于商务决策，尤其是计算机模拟领域。通常，如果对结果的概率分布所知信息很少，例如仅仅知道最大值与最小值，那么可以使用平均分布模型。但是，如果已经知道了最可能出现的结果，那么就可以用三角形分布进行模拟。

[编辑] 项目管理

三角形分布以及Beta分布在项目管理中大量地用作项目评估与审核技术以及关键途径的输入信息，以建立在最大值与最小值之间事件发生的概率模型。

[编辑] 外部链接与参考文献

三角形分布, mathworld.wolfram.com
三角形分布, decisionsciences.org
三角形分布, brighton-webs.co.uk

	单随机变量	多随机变量
	概率分布 [ 檢視 • 討論 • 編輯 • 歷史 ]
离散概率分布	伯努利分布 • 二項分佈 • Boltzmann • compound Poisson • degenerate • Gauss-Kuzmin • 幾何分佈 • 超几何分布 • 对数分布 • negative binomial • parabolic fractal • zh-cn:泊松分布;zh-tw:卜氏分配 • Rademacher • Skellam • 離散型均勻分佈 • Yule-Simon • zeta • Zipf • Zipf-Mandelbrot	Ewens • 多項式分配
连续概率分布	Beta • Beta prime • 柯西分布 • 卡方分佈 • 狄拉克δ函数 • Erlang • 指数分布 • 广义误差分布 • F-分布 • fading • Fisher's z • Fisher-Tippett • Gamma • generalized extreme value • generalized hyperbolic • 广义逆高斯分布 • Half-Logistic • Hotelling's T-square • hyperbolic secant • 超指数分布 • hypoexponential • inverse chi-square • 逆高斯分布 • inverse gamma • Kumaraswamy • Landau • 拉普拉斯分布 • Lévy • 稳定分布 • logistic • 对数正态分布 • 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 • Maxwell speed • 正态分布 • Pareto • Pearson • polar • raised cosine • Rayleigh • relativistic Breit-Wigner • 萊斯分配 • 學生t-分佈 • 三角形分布 • type-1 Gumbel • type-2 Gumbel • 連續型均勻分布 • Voigt • von Mises • 韋氏分配 • Wigner semicircle	Dirichlet • Kent • 矩陣常態分配 • 多變量常態分配 • von Mises-Fisher • Wigner quasi • Wishart
其它分布	Cantor • 条件概率 • exponential family • infinitely divisible • location-scale family • marginal • maximum entropy • phase-type • posterior • prior • quasi • 抽樣分配 • singular