Variabile casuale triangolare

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La variabile casuale triangolare è una variabile casuale continua limitata, la cui funzione di densità di probabilità descrive un triangolo. Se il triangolo è simmetrico attorno alla media, allora si parla di variabile casuale di Simpson.

Indice

1 Caratteristiche
2 La v.c. triangolare nell'ambito dell'inferenza bayesiana
- 2.1 La v.c. triangolare come funzione di densità a posteriori in prove bernoulliane
- 2.2 La v.c. triangolare come funzione di densità a priori in prove bernoulliane
  - 2.2.1 Due prove bernoulliane entrambe con esito positivo
  - 2.2.2 Due prove bernoulliane con esito una volta positivo e uno negativo

[modifica] Caratteristiche

Funzione di densità

La funzione di densità è data da

$f(x|a,b,c)=\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{per\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{per\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$

La distribuzione si semplifica se c=a o c=b'. Per esempio, se a=0, b=1 e c=1, allora le equazioni di sopra diventano

$\left.\begin{matrix}f(x) &=& 2x \\ \\ F(x) &=& x^2 \end{matrix}\right\} \mathrm{per\ } 0 \le x \le 1$

$\begin{matrix} E(X) &=& \frac{2}{3} \\ & & \\ \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{18} \end{matrix}$

La media è $\mu = \frac{a+b+c}{3}$

la mediana è $\left\{ \begin{matrix} a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{per\ } c\!\ge\!\frac{b\!+\!a}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-c)(b-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{per\ } c\!\le\!\frac{b\!+\!a}{2} \end{matrix} \right.$

la moda è uguale a c

la varianza è $\sigma^2 = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$

l'indice di simmetria: $\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$

l'indice di curtosi: $\frac{12}{5}$

La funzione generatrice dei momenti è data da $2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$

[modifica] La v.c. triangolare nell'ambito dell'inferenza bayesiana

Effettuando delle prove bernoulliane nell'ambito dell'inferenza bayesiana e ponendosi "aperti" ad ogni possibile valore della probabilità $π$ con la quale si realizzano gli eventi e dunque ponendo la variabile casuale rettangolare come funzione di densità di probabilità si possono applicare i seguenti teoremi con i quali si possono calcolare la probabilità a posteriori che $π$ si trovi in intervalli, corrispondenti grossomodo agli intervalli di confidenza in uso nell'approccio dell'inferenza classica.

[modifica] La v.c. triangolare come funzione di densità a posteriori in prove bernoulliane

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana, se la funzione di densità di probabilità (fdp) a priori della probabilità di un evento bernoulliano è distribuita come una variabile casuale rettangolare e l'evento associato alla probabiltà $π$ si verifica, allora la fdp a posteriori, sapendo che tale evento è avvenuto corrisponde a quella di una v.c. triangolare con i parametri a=0 e b=c=1.

f (π | E = 1) = 2π

Nel caso che l'evento non si verifichi, allora il terzo parametro è nulla: c=0.

f (π | E = 1) = 2(1 - π)

[modifica] La v.c. triangolare come funzione di densità a priori in prove bernoulliane

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana, se la funzione di densità di probabilità (fdp) a priori della probabilità di un evento bernoulliano è distribuita come una v.c. triangolare, allora

[modifica] Due prove bernoulliane entrambe con esito positivo

se c=1 e l'evento si verifica, allora la fdp a posteriori è parabolica

f (π | E = 1; c = 1) = 3π 2

In modo analogo se c=0 e l'evento non si verifica

f (π | E = 0; c = 0) = 3(1 - π) 2

Questo corrisponde al caso di due prove bernoulliane indipendenti con esito in antrambi i casi positivo (o negativo) con fdp a priori rettangolare.

[modifica] Due prove bernoulliane con esito una volta positivo e uno negativo

se c=1 e l'evento non si verifica oppure c=0 e l'evento si verifica, allora la fdp a posteriori è in entrambi i casi parabolica con gli stessi parametri