代數獨立
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在抽象代數裡，一個體L的子集S若被稱做代數獨立於一子體K的話，表示S內的元素都不符合係數包含在K內的非當然多項式。這表示任何以S內元素排成的有限序列α1, ..., αn(沒有兩個是一樣的)和任一係數包含在K的非零多項式P(x1, ..., xn)，都會得到
- P(α1,...,αn) ≠ 0
的結果。
特別的是，單元素集合 {α} 若是代數獨立於K的話，若且唯若α會是K內的超越數或超越函數。一般而言，和於K代數獨立集合的所有元素也必然會是K內的超越數或超越函數，但反之則不必然。
舉例來說，實數R的子集{√π, 2π+1}並不代數獨立於有理數Q，當存在一非零多項式
當x1代入√π和x2代入2π+1時會變成零。
林德曼－維爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數。其內容為，當α1,...,αn為線性獨立於有理數的代數數時，eα1,...,eαn便會代數獨立於有理數。
現在依然沒有證明出集合{π, e}是否代數獨立於有理數。Nesterenko在1996年證明了{π, eπ, Γ是代數獨立於有理數的。
給定一體擴張L/K，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一L的最大代數獨立子集於K。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。
