协变经典场论

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近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

[编辑] 记法

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令 $\bar{\Gamma}(\pi)$ 表示有紧支撑的 $\pi\,$ 的截面。

[编辑] 作用量积分

一个经典场论数学上可以如下表述

一个纤维丛 $(\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})$ ，其中 $\mathcal{M}$ 表示一个 $n\,$ 维时空。
一个拉格朗日量形式 $\Lambda:J^{1}\pi \rightarrow \Lambda^{n}M$

令 $\star 1\,$ 代表 $M\,$ 上的体积形式，则 $\Lambda = L\star 1\,$ ，其中 $L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb{R}$ 是拉格朗日量函数。我们在 $J^{1}\pi\,$ 上选择纤维化坐标 $\{x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{i}\}\,$ ，使得

$\star 1 = dx^{1} \wedge \ldots \wedge dx^{n}$

作用量积分定义为

$S(\sigma) = \int_{\sigma(\mathcal{M})} (j^{1}\sigma)^{*}\Lambda \,$

其中 $\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)$ ，并定义于开集 $\sigma(\mathcal{M})\,$ ，而 $j^{1}\sigma\,$ 代表其第一射流延长(jet prolongation)。

[编辑] 作用量积分的变分

截面 $\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,$ 的变分由曲线 $\sigma_{t} = \eta_{t} \circ \sigma\,$ 给出，其中 $\eta_{t}\,$ 是一个 $\mathcal{E}\,$ 上的 $\pi\,$ -竖直向量场 $V\,$ 的流，它在 $\mathcal{M}\,$ 上有紧支撑。截面 $\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,$ 称为变分的驻点，如果

$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\int_{\sigma(\mathcal{M})}(j^{1}\sigma_{t})^{*}\Lambda = 0\,$

这等价于

$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}\mathcal{L}_{V^{1}}\Lambda = 0\,$

其中 $V^{1}\,$ 代表 $V\,$ 的第一延长，按李导数的定义。使用嘉当公式， $\mathcal{L}_{X}=i_{X}d + di_{X}\,$ ，斯托克斯定理以及 $\sigma\,$ 的紧支撑，可以证明这等价于

$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = 0 \,$

[编辑] 欧拉－拉格朗日方程

考虑一个 $\mathcal{E}$ 的 $\pi\,$ -竖直向量场

$V = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}\,$

其中 $\beta^{\alpha} = \beta^{\alpha}(x,u)\,$ 。采用切触形式 $\theta^{j} = du^{j} - u^{j}_{i}dx^{i}\,$ on $J^{1}\pi\,$ ，我们可以计算 $V\,$ 的第一延长。然后得到

$V^{1} = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{i}}\,$

其中 $\gamma^{\alpha}_{i} = \gamma^{\alpha}_{i}(x,u^{\alpha},u^{\alpha}_{i})\,$ 。据此，可以证明

$i_{V^{1}}d\Lambda = \left[\beta^{\alpha}\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}}\right]\star 1 \,$

因而

$(j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = \left[(\beta^{\alpha} \circ \sigma)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} \circ \sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}} \circ \sigma \right)\frac{\partial \sigma^{j}}{\partial x^{i}} \right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right]\star 1 \,$

分部积分并考虑 $\sigma\,$ 的紧支撑，临界条件变为

$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,$	$= \int_{\mathcal{M}} \left[\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right)\right]( \beta^{\alpha}\circ \sigma )\star 1 \,$
	$= 0 \,$

因为 $\beta^{\alpha}\,$ 为任意函数，我们得到

$\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right) = 0\,$

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

[编辑] 参看

[编辑] 参考

Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories, May 1995

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