哈代-勒特伍德圓法
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在數學裡，哈代-勒特伍德圓法是在代數數論中最常被使用的技術之一。其是以高德菲·哈羅德·哈代和約翰·艾登色·勒特伍德來命名的，他們是在一連討論華林問題的論文中發展了此一技術。這個觀念一開始的起源通常被歸功於哈代在1916年和1917年中和拉馬努金在整數分拆的漸進分析中之研究。這被許多其他的研究者們所使用，包括哈羅德·達芬波特和維諾格拉多夫，他們稍微地修改了其公式（由複分析移至指數和），但沒有改變大略的內容。上千篇論文使用著此一方法，且直到2005年，這個方法仍然被使用來產生新的成果。
問題中的圓一開始是在複數平面上的單位圓。假定問題一開始是一連串的複數
- an, n = 0, 1, 2, 3, ...
想要求得其中的一些可能的漸進類型
- an ~ F(n)
其中有一些啟發性的方法可以用來猜測F可能的類型，先寫下
，一個冪級數生成函數。其中有些有趣的例子在於f的收斂半徑等於1的條件下，故將問題假裝已調整至承現出滿足此一條件。
經由此規劃之後，便可以直接由留數定理得出對每個整數 n ≥ 0，
其中這個積分是繞著圓心為0且半徑為0 < r < 1之r的圓來積的。
亦即，這是一個閉軌積分，其軌道是一個以逆時鐘方向繞了一圈的圓。為了使其較易回答，可以直接將r的值取1，即使用單位圓閉軌。但在複變分析中卻有著一些問題，因為f在單位圓上不一定總是會有定義。
圓法在其問題上的做法是強迫將r值取1，以對f在單位圓上之奇點的性質有足夠的了解之方式。對其基本的了解可以使用有理數的法里數列，或是等價地使用單位根
這裡的分母s是在r/s為最簡分數下之分母，可以決定在ζ附近之f主要奇點的行為之相對的重要性。
哈代-勒特伍德圓法因此可以用複變分析的方式來表現出來。當r&arr;1時的In的值的分佈可以被分成兩個部份，傳統上稱之為大弧和小弧。可以將ζ分成兩部份，分別是s≤N和s>N兩部份，其中的N是一個依方便選定之n的函數。積分In可以將其積分範圍分成長度為s的長度（一樣是依方便選定的），和ζ相連的弧。這些弧可以形成整個圓圈，而其在「大狐」上積分的總和會是2πiF(n)（實際上，會存在一個可掌控的剩餘項）。剩下在「小弧」上的積分總和則可以被一個上界所取代，而且這個上界會數量級地小於F(n)。
Stated baldly like this, it is not at all clear that this can be made to work. Indeed, the insights involved are not so shallow. One clear source is the theory of theta functions. In the context of Waring's problem, powers of theta functions are the generating functions for sums of squares. Their analytic behaviour is known in much more accurate detail than for the cubes, for example.
It is the case, as the false-colour diagram indicates, that for a theta function the 'most important' point on the boundary circle is at z = 1; followed by z = − 1, and then the two complex cube roots of unity at 7 o'clock and 11 o'clock. After that it is the fourth roots of unity i and −i that matter most. While nothing in this guarantees that the analytical method will work, it does explain the rationale of using a Farey series-type criterion on roots of unity.
In the Waring problem case, one takes a sufficiently high power of the generating function, to force the situation in which the singularities, organised into the so-called singular series, do predominate. The less wasteful the estimates used on the rest, the finer the results. As Bryan Birch has put it, the method is inherently wasteful. That does not apply to the partition function case, which signalled the possibility that in a favourable situation the losses from estimates could be controlled.
In the later, exponential sum formulation f(z) is replaced by a finite Fourier series, and the relevant integral In is a Fourier coefficient. Essentially all this does is to discard the whole 'tail' of the generating function, allowing the business of r in the limiting operation to be set directly to the value 1.
Refinements of the method have allowed results to be proved about the solutions of homogeneous Diophantine equations, as long as the number of variables k is large relative to the degree d. This turns out to be a contribution to the Hasse principle, capable of yielding quantitative information. If d is fixed and k is small, other methods are required, and indeed the Hasse principle tends to fail.
