多体问题

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多体问题是指找出已知初始位置、速度和质量的多个物体在经典力学情况下的后续运动。

[编辑] 多体问题的数学公式

天体力学中的普遍情况下的多体问题是一组已知初始值的常微分方程组：即已知初始值 $q_j(0), \quad\dot q_j(0), j=1,\ldots,n$ （当j 不等于k 时， $q_j(0) \neq q_k(0)$ ），解出这个二阶常微分方程组

$m_j \ddot q_j = \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{n} \frac{m_j m_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad (1)$

其中 $m_1,m_2,\ldots m_n$ 是代表n个质点质量的常量。 $q_1,q_2,\ldots,q_n$ 是以时间t为变量描述质点位置的三维矢量函数。

约翰·伯努利已经完全解决了 $n = 2$ 的情况。（参见#二体问题）

在有关多体问题（ $n\geq 3$ ）的物理文学作品里有时会发现像“解决多体问题是不可能的”这样的描述。

n 体问题包含6n 个变量，因为每个质点需要3个空间坐标和3个分速度表示。

假如两个物体的共同质心是静止的,每一个物体沿着一条圆锥曲线运行,而这条圆锥曲线的焦点与这个系统的质心重合。（对于双曲线，是与焦点同侧的那一支）

假如这两个物体被限制在一起，它们的运动轨迹都为椭圆；这时的势能（经常为一负值）相对于它们离得很远情况在绝对值上大于这个系统总动能。（这些物体在它们坐标轴的旋转能这里未计算在内）。

假如它们正在远离，它们将一同沿着抛物线或双曲线运动。

对于双曲线的情况，势能的绝对值小于这个系统的总动能；即两种能量的和为正值。

对于抛物线的情况，两种能量的和为0。当两物体相距很远时，它们的相对速度趋于0。

注释：抛物线轨道的能量为0的事实由当物体相距无限远时，重力势能为0这一假定产生的。系统在无限分离的状态下可以被认为具有任意值（例如42焦）的势能。那一种状态被假定具有0势能（即0焦）。

当 $n\geq 3$ 时的多体问题现在知道得很少。n=3的情况研究得最多，且很多结论可以推广到更大的n。最先尝试解决三体问题是从量化的、寻找显式解的角度。

1767年欧拉找到了共线周期轨道,其中任意质量的三个物体振荡在旋转线上。
1772年拉格朗日发现了一些周期解，存在周期性的扩张和收缩的旋转等边三角形的顶点上。这些解引领了关于中心结构的研究，其中 $\ddot q=kq$ （k为大于零的常数）。

三体问题是很令人费解的。它的解可能是混沌的。Charles Delaunay曾经在地-月-日系统做出了主要研究。他曾于1860年和1867年分别出版了长达900页的关于这个问题的著作。