态射

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数学上,一个态射(morphism)是两个数学结构之间保持结构的过程的一种抽象。

最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。在集合论中，例如，态射就是函数，在群论中，它们是群同态，而在拓扑学中，它们是连续函数。在泛代数(universal algebra)的范围，态射通常就是同态。

对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象(不必是集合 )间的箭头。不象映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。

尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。

[编辑] 定义

一个范畴C由两个数据给定：一个对象的类和一个态射的类.

有两个操作定义在每个态射上,域(domain)(或源)和对應域(陪域，codomain)(或目标).

态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示,例如若一个态射f域为X而陪域为Y,它记为f : X → Y. 所有从X 到Y的态射的集合记为hom_C(X,Y) 或者hom(X, Y). (有些作者采用Mor_C(X,Y) 或Mor(X, Y)).

对于任意三个对象X, Y, Z,存在一个二元操作 hom(X, Y) × hom(Y, Z) → hom(X, Z) 称为复合. f : X → Y和g : Y → Z的复合记为 $g\circ f$ 或gf (有些作者采用fg.) 态射的复合经常采用交换图来表示.例如

态射必须满足两条公理:

恒等(IDENTITY): 对于每个对象X,存在一个态射id_X : X → X 称为X上的恒等态射, 使得对于每个态射f : A → B 我们有 ${\rm id}_B\circ f=f=f\circ{\rm id}_A$ .
结合律(ASSOCIATIVITY): $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ 在任何操作有定义的时候.

当C是一个具体范畴的时候，复合只是通常的函数复合,恒等态射只是恒等函数,而结合律是自动满足的.(函数复合是结合的.)

注意域和陪域是决定态射的信息的真正部分.例如,在集合的范畴,其中态射是函数，两个函数可以作为有序对的集合相等,但却有不同的陪域. 这些函数从范畴论的目的来说被视为不同.因此，很多作者要求态射类hom(X, Y)是不交的.实际上,这不是一个问题,因为如果他们不是不交的,域和陪域可以加到态射上,(例如,作为一个有序三元组的第二和第三个分量),使得它们不交(互斥,disjoint).

[编辑] 态射的类型

令f : X → Y为一个态射。若存在态射g : Y → X使得 $f\circ g={\rm id}_Y$ 和 $g\circ f={\rm id}_X$ 成立，则f称为一个同构而g 称为f的逆态射。逆态射如果存在就是唯一的显而易见g也是一个同构，其逆为f。之间有一个同构的两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。

一个态射f : X → Y称为一个满同态(epimorphism)如果 $g_1\circ f=g_2\circ f$ 蕴含g₁ = g₂对于所有态射g₁, g₂ : Y → Z成立.这也称为epi或epic. 具体范畴中的满射通常是满射(surjective)函数，虽然并不总是这样。

态射f : X → Y 称为单同态(monomorphism)若 $f\circ g_1=f\circ g_2$ 蕴含g₁ = g₂ 对于所有态射g₁, g₂ : Z → X成立. 它也称为

mono或者monic.具体范畴中的单射通常为单射(injective)函数。

若f既是满射也是单射则f称为双同态(bimorphism). 注意每个同构都是双射，但一般来说不是每个双射都是

同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z → Q是一个双射，但不是一个同构。在其中每个双射都是同构的范畴称为一个平衡范畴。例如，集合是一个平衡范畴。

任何态射f : X → X称为一个自同态(endomorphism) of X.

任何一个也是同构的自同态成为自同构(automorphism).

若f : X → Y 和 g : Y → X 满足 $f\circ g={\rm id}_Y$ 可是证明f是满的而g是单的，而且 $g\circ f$ : X → X是幂等的.这种情况下，f和g称为分割(split). f称为g的收缩(retraction)而g称为f的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射，或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。

参看:

零态射
正规态射

[编辑] 例子

在通用代数中研究的具体范畴(例如群，环，模，等等)，态射称为同态。术语

同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。

在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。

在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。

函子可以视为小范畴的范畴中的态射。

在函子范畴中，态射是自然变换。

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