单射

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一單射函數

另一單射函數

非單射函數

在數學裡，單射函數為一函數，其將不同的引數連接至不同的值上。更精確地說，函數f被稱為是單射的，當對每一陪域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。

另一種說法為，f為單射，當若f(a) = f(b)，則a = b(或若a $\neq$ b，則f(a) $\neq$ f(b))，其中a、b屬於定義域。

[编辑] 例子與反例

對任一集合X，X上的恆等函數為單射的。
函數f : R → R，其定義為f(x) = 2x + 1，是單射的。
函數g : R → R，其定義為g(x) = x²，不是單射的，因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非零實數[0,+∞)內，則g是單射的。
指數函數 $\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x$ 是單射的。
自然對數函數 $\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}$ 是單射的。
函數g : R → R，其定義為 $g (x) = x 3 - x$ ，不是單射的，因為 g(0) = g(1)。

更一般地說，當X和Y都是實線 R'，則單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

另一單射函數的定義為其作用可取消的函數。更精確地說，f : X → Y為單射，若存在一函數g : Y → X，使得對所有X內的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 等同於X上的恆等函數。

注意，g不一定是一f的完全反函數，因為其他順序的複合f o g不一定是在X上的恆等函數。

事實上，將一單射函數f : X → Y變成一雙射函數，只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其對所以X內的x，g(x) = f(x)；如此g便為單射的了。確實，f可以分解成incl_J,Yog，其中incl_J,Y來由J至Y的內含映射。

單射複合

若g o f為單射的，則f為單射的(但g不必然要是)。
f : X → Y是單射的若且唯若當給定兩函數g、h : W → X會使得f o g = f o h時，則g = h。
若f : X → Y為單射的且A為X的子集，則f⁻¹(f(A)) = A。所以，A可以從其值域f(A)找回。
若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集，則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
Every function h : W → Y can be decomposed as h = f o g for a suitable injection f and surjection g. This decomposition is unique up to isomorphism, and f may be thought of as the inclusion function of the range h(W) of h as a subset of the codomain Y of h.
If f : X → Y is an injective function, then Y has at least as many elements as X, in the sense of cardinal numbers.
If both X and Y are finite with the same number of elements, then f : X → Y is injective if and only if f is surjective.
Every embedding is injective.

以範疇論的語言來說，單射函數恰好是集合範疇內的單射同態。