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柯西-歐拉方程 - Wikipedia

柯西-歐拉方程

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柯西-歐拉方程是形式如 $x 2 y'' + b x y' + c y = 0$ （其中 $b, c$ 是常數）的二階常微分方程。

[编辑] 解法

觀察可知 $y = x r$ 是一個特定解：

0 = x 2 y'' + b x y' + c y

= x 2 r (r - 1) x r - 2 + b x r x (r - 1) + c x r

= (r 2 + (b - 1) r + c) x r

因為 $x r = 0$ 若且唯若 $x = 0$ ，所以要考慮二次方程 $r 2 + (b - 1) r + c$ 的解。

$r={1\over 2}\left(1-b \pm\sqrt{b^2-2b-4c+1}\right).$

設 $p, q$ 為二次方程的解。若 $p, q$ 不相等， $y$ 的一般解則為 $y = A x p + B x q$ 。

若 $p = q = (1 - b) / 2$ ，其中一個特定解為 $x r ln x$ ：

x 2 (x r ln x)'' + b x (x r ln x)' + c x r ln x

= x r (ln x (r 2 + (b - 1) r + c) + 2 r + b - 1)

代入 $r = (1 - b) / 2$ 便知右方括號內等於0。因此核實 $x r ln x$ 是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得： $y = A x r + B x r ln x$ 。

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E6%9F%AF/%E8%A5%BF/-/%E6%9F%AF%E8%A5%BF-%E6%AD%90%E6%8B%89%E6%96%B9%E7%A8%8B.html”

页面分类: 微分方程

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