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欧拉公式 - Wikipedia

欧拉公式

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欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德·欧拉（‎‎‎‎‎‎Leonhard Euler）而命名的公式。

[编辑] 形式

(1) 在复分析领域的欧拉公式为:

对于任意实数x\,，存在:
e^{ix} = \cos x + i\;\sin x
当x=\pi\,时，欧拉公式的特殊形式为 e^{i \pi} + 1 = 0 \, 。 （参见欧拉恒等式）


(2) 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为：

对于一个拥有F\, 个面、V \, 个顶角和E\, 条棱（边）的单联通多面体，必存在
F+V-E=2 \, （参见欧拉特征数）

[编辑] 证明

(1)复分析领域：

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x, x \in \mathbb{R}\,
将函数 e^x \,， cos(x)\, 和 sin(x)\, 写成泰勒级数形式：
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
将x=iz\,代入可得：
e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots
= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots
= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)
= \cos (z) + i\sin (z) \,
定义一个复数如下：
z=\cos x + i\sin x \,
两边对x\,求导：
\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x
由i^2 = - 1\,得到：
\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=zi
分离变量并对两边积分得：
\int\frac{1}{z}\,dz=\int i\,dx
\ ln z = xi + C\,
令 x=0\, 可求出常数C=0\,
从而有：
\ ln z = xi\,
\ z = e^{xi}\,
\ e^{xi} = \cos x + i\sin x\,\square
来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E6%AC%A7/%E6%8B%89/%E5%85%AC/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%85%AC%E5%BC%8F.html”

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