理想气体状态方程

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理想气体等温线

理想气体状态方程（也称理想气体定律、克拉佩龙方程）是描述理想氣體在处于平衡态时，壓力、體積、物质的量、溫度間關係的状态方程。它建立在波义耳定律、查理定律、盖-吕萨克定律等经验定律上。

其zh-cn:方程式; zh-tw:方程式为 $p V = n R T$ ^[1]。这个方程式有4个变量：p是指理想气体的压力，V为理想气体的体积，n表示气体物质的量，而T则表示理想气体的温度；还有一个常量：R为理想气体常数。可以看出，此方程的变量很多。因此此方程以其变量多、适用范围广而著称。

[编辑] 应用

一定量处于平衡态的气体，其状态由p、V和T刻划，表达这几个量之间的关系的方程称之为气体的状态方程，不同的气体有不同的状态方程。但真实气体的方程通常十分复杂，而理想气体的状态方程具有非常简单的形式。

虽然完全理想的气体并不可能存在，但许多实际气体，特别是那些不容易液化、凝华的气体（如氦、氢气、氧气、氮气等，由于氦气不但体积小^[2]、互相之间作用力小、也是所有气体中最难液化的^[3]，因此它是所有气体中最接近理想气体的气体。）在常温常压下的性质已经十分接近于理想气体。

此外，有时只需要粗略估算一些数据，使用这个方程会使计算变得方便很多。

计算气体的压强、体积、温度或其所含物质的量

从数学上说，当一个方程中只含有1个未知量时，就可以计算出这个未知量。因此，在压强、体积、温度和所含物质的量这4个量中，只要知道其中的3个量即可算出第四个量。这个方程根据需要计算的目标不同，可以转换为下面4个等效的公式：

求压力： $p=\frac{nRT}{V}$
求体积： $V=\frac{nRT}{p}$
求所含物质的量： $n=\frac{pV}{RT}$
求温度： $T=\frac{pV}{nR}$

在化学平衡中

根据理想气体状态方程可以用于计算气体反应的化学平衡问题。

根据理想气体状态方程可以得到如下推论：

温度、体积恒定时，气体压强之比与所含物质的量的比相同，即可得Ρ_平/P_始＝n_平/n_始
温度、压力恒定时，气体体积比与气体所含物质量的比相同，即V_平/V_始=n_平/n_始

通过结合化学反应的方程式，很容易得到化学反应达到平衡状态后制定物质的转化率。

[编辑] 研究过程

这个方程式是两个多世纪以来许多科学家经过不断地试验、观察、归纳总结才取得的成果，汇集了许多由2个变量的实验定律而构成。

[编辑] 波义耳定律

波义耳的实验示意图

主条目：波义耳定律

1662年，英国化学家波义耳使用类似右图的J型玻璃管进行实验：用水银压缩被密封于玻璃管内的空气。加入水银量的不同会使其中空气所受的压力也不同。波义耳经过观察管内空气的体积随水银柱高度不同而发生的变化，记录了如下一组数据（一定量空气在室温、大气压为29.1 in^[4]Hg下）：

**波义耳的实验数据**
l(刻度读数)	40	38	36	34	32	30
Δh/(in Hg)	6.2	7.9	10.2	12.5	15.1	18.0

经过观察，他认为在管粗细均匀的情况下，管中空气的体积与空气柱 l 成正比，而空气所受压力为大气压与水银柱压差Δh的和；据此，他认为在恒温下，一定量的空气所受的压力与气体的体积成反比。

其他兩位科學家，贝蒂和布里兹曼也研究了氢气的体积和压力的关系，下面是他们的实验数据：

**氢气的pV乘积**
100℃			10℃
$\frac{V}{dm^3}$	$\frac{p}{atm}$	$\frac{pV}{dm^3\cdot{atm}}$ ^[5]	$\frac{V}{dm^3}$	$\frac{p}{atm}$	$\frac{pV}{dm^3\cdot{atm}}$
2.000	15.28	30.56	2.000	11.10	22.20
1.000	30.52	30.52	1.000	22.03	22.03
0.667	45.75	30.52	0.667	32.79	21.87
0.500	60.99	30.50	0.500	43.34	21.67
0.400	76.26	30.50	0.333	63.88	21.27

多种气体的试验均得到了相同的结果，这个结果总结为波义耳定律，即：温度恒定时，一定量气体的压力和它的体积的乘积为恒量。

数学表达式为： $p V =$ 恒量（n、T恒定）或 $p 1 V 1 = p 2 V 2$ （ $n 1 = n 2$ 、 $T 1 = T 2$ ）。

[编辑] 查理定律

主条目：查理定律

1787年，查理研究氧气、氮气、氢气、二氧化碳及空气等气体从0℃加热到100℃时的膨胀情况，发现在压力不太大时，任何气体的膨胀速率是一样的，而且是摄氏温度的线性函数。即某一气体在100℃中的体积为 $V 100$ ，而在0℃时为 $V 0$ ，经过实验，表明任意气体由0℃升高到100℃，体积增加37%。数学表达式为：

$\frac{V_{100V_0}{V_0}=0.366=\frac{100}{273}$ }-

推广到一般情况，若t℃是体积为 $V t$ ，代替 $V 100$ ，则有：

$\frac{V_t-V_0}{V_0}=\frac{t}{273}$ 或 ${V_t}={V_0}\left(1+\frac{t}{273}\right)$

即：恒压时，一定量气体每升高1℃，它的体积膨胀了0℃时的 $\frac{1}{273}$ ^[6]。

[编辑] 盖-吕萨克定律

主条目：盖-吕萨克定律

1802年，盖-吕萨克在试验中发现，体积不变时，一定量的气体的压力和温度成正比，即温度每升高（或降低）1℃，其压力也随之增加（或减少）其0℃时压力的 $\frac{1}{273.15}$ 。^[7]

[编辑] 查理-盖吕萨克定律

主条目：查理-盖吕萨克定律

查理-盖吕萨克定律是近1个世纪后，物理学家克劳修斯和开尔文建立了热力学第二定律，并提出了热力学温标（即绝对温标）的概念，后来，查理-盖吕萨克气体定律被表述为：压力恒定时，一定量气体的体积（V）与其温度（T）成正比。其数学表达式为：

$\frac{V}{T}=$ 衡量（n为恒量）

或 $\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$ （n不变）

[编辑] 综合

19世纪中叶，法国科学家克拉佩龙综合波义耳定律和查理-盖吕萨克定律，把描述气体状态的3个参数：p、V、T归于一个方程式，表述为：一定量气体，体积和压力的乘积与热力学温度成正比。

推导过程如下：设某气体原始状态是 $p 1$ 、 $V 1$ 、 $T 1$ ，最终状态为 $p 2$ 、 $V 2$ 、 $T 2$ ；

首先假定温度 $T 1$ 不变，则 $p_1V_1=p_2V^\prime$ ；

接着假设压力 $p 2$ 不变，则 $\frac{V^\prime}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$ 或 $V^\prime=V_2\frac{T_1}{T_2}$

将 $V^\prime$ 带入第一步，得 $\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}=$ 恒量

在这个方程中，对于1mol的气体，恒量为R，而n(mol)的气体，恒量为nR，R称为摩尔气体常数。

[编辑] 推广

经过Horstmam和Mendeleev等人的支持和提倡，19世纪末，人们开始普遍地使用现行的理想气体状态方程： $p V = n R T$

[编辑] 理想气体常数

理想气体常数（或称摩尔气体常数、普适气体恒量）的数值随p和V的单位不同而异，以下是几种常见的表述：

$\begin{matrix}R=\frac{pV}{nT} & = & 8.31 kPa\cdot{dm^3}\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \\ \ & = & 0.0831 bar\cdot{dm^3}\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \\ \ & = & 0.0831 bar\cdot{dm^3}\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \\ \ & = & 0.0821 atm\cdot{dm^3}\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \\ \ & = & 62.4 mmHg\cdot{dm^3}\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \\ \ & = & 8.31 J\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \\ \ & = & 1.99 cal\cdot{mol^{-1}}\cdot{K^{-1}} \end{matrix}$

[编辑] 使用到该方程的定律

[编辑] 阿佛加德罗定律

主条目：阿佛加德罗定律和阿佛加德罗假说

阿佛加德罗定律是阿佛加德罗假说在19世纪末由气体分子运动论给予理论证明后才成为定律。它被表述为：在相同的温度与相同的压力下，相同体积的气体所含物质的量相同。

通过理想气体方程很容易导出这个定律：若有A、B两种气体，它们的气体方程分别是 $p A V A = n A R T A$ 和 $p B V B = n B R T B$ ，当 $p A = p B, T A = T B, V A = V B$ 时，显然 $n A = n B$ 。这个定律也是理想气体方程的一个例证。

[编辑] 气体分压定律

主条目：气体分压定律

气体分压定律是1807年由道尔顿首先提出的，因此也叫道尔顿分压定律。这个定律在现代被表述为：在温度与体积恒定时，混合气体的总压力等于组分气体分压力之和；气体分压等于总压气体摩尔分数或体积分数。

使用数学方程表示为

$p_{sum}=\sum{p_i}$ 和 $p_i=p_{sum}\times\frac{n_i}{\sum{n_i}}=p_{sum}\times\frac{V_i}{\sum{V_i}}$ 。

在恒温、恒体积的条件下，

将 $p V = n R T$ 代入 $p_{sum}=\sum{p_i}$ ，

可得 $p_{sum}=\sum{p_i}=\frac{\sum{n_i}RT}{V}$ ，

易得 $\frac{p_i}{p_{sum}}=\frac{n_i}{\sum{n_i}}=\frac{n_A}{n_{sum}}$ 或 $p_i=p_{sum}\times\frac{n_i}{n_sum}$ 。

当温度与压力相同的条件下，由于 $V_{sum}=\sum{V_i}$ ，代入 $p V = n R T$ ，

易得 $\frac{n_i}{n_{sum}}=\frac{n_A}{\sum{n_i}}=\frac{V_i}{\sum{V_i}}=\frac{V_i}{V_{sum}}$ ，

代入 $\frac{p_i}{p_{sum}}=\frac{n_i}{\sum{n_i}}=\frac{n_A}{n_{sum}}$ 或 $p_i=p_{sum}\times\frac{n_i}{n_sum}$ ，

可得 $p_i=p_{sum}\times\frac{V_i}{V_{sum}}$ 或 $V_i=V_{sum}\times\frac{p_i}{p_{sum}}$ 。

[编辑] 实际气体中的问题

当理想气体状态方程运用于实际气体时会有所偏差，因为理想气体的基本假设在实际气体中并不成立。如实验测定1 mol乙炔在20℃、101kPa时，体积为24.1 dm³， $pV=2420 kPa\cdot{dm^3}$ ，而同样在20℃时，在842 kPa下，体积为0.114 dm³， $pv=960 kPa\cdot{dm^3}$ ，它们相差很多，这是因为，它不是理想气体所致。

一般来说，沸点低的气体在较高的温度和较低的压力时，更接近理想气体，如氧气的沸点为-183℃、氢气沸点为-253℃，它们在常温常压下摩尔体积与理想值仅相差0.1%左右，而二氧化硫的沸点为-10℃，在常温常压下摩尔体积与理想值的相差达到了2.4%。

[编辑] 压缩系数

由于实际气体和理想值之间存在偏差，因此常用压缩系数Z表示实际气体的实验值和理想值之间的偏差，计算Z的方程为： $Z=\frac{pV}{nRT}$ 。

当气压很低时，各种气体的性质都接近于理想气体，随压力升高，各种气体偏离理想状态的情况不同，压缩系数Z便会随之改变。

Z受到两个因素的影响：

实际气体分子间的吸引力会使其对器壁碰撞而产生的压力比理想值小，这会使Z减小；
实际气体分子所占用的空间体积使实测体积一定大于理想状态，这会使Z增大。

这两个因素有时会互相抵消，使气体在一定状态下十分接近于理想气体^[8]。

[编辑] 范德瓦耳斯方程

分别用理想气体方程和范德瓦耳斯方程模拟的二氧化碳气体70°C时的p-V等温线

主条目：范德瓦耳斯方程

范德瓦耳斯方程（也称范氏方程）是荷兰物理学家范德瓦耳斯根据以上观点于1873年提出的一种实际气体状态方程，这个方程通常有两种两种形式：

其具体形式为
其中与理想气体状态方程不同的几个参数为：
- a' 为度量分子间引力的唯象参数
- b' 为单个分子本身包含的体积
- v 为每个分子平均占有的空间大小（即气体的体积除以总分子数量）
- k 为玻尔兹曼常数
而更常用的形式为:
其中几个参数为：
- V 为总体积
- a 为度量分子间引力的参数 $a=N_A^2 a'$
- b 为1摩尔分子本身包含的体积之和 $b = N A b'$
- $N A$ 为阿伏加德罗常数.

a和b都是常数，叫做范德瓦耳斯常数，其中a用于校正压力，b用于修正体积。

在较低的压力情况下，理想气体状态方程是范德瓦耳斯方程的一个良好近似。而随着气体压力的增加，范氏方程和理想气体方程结果的差别会变得十分明显。

范氏方程对气-液临界温度以上流体性质的描写优于理想气体方程。对温度稍低于临界温度的液体和低压气体也有较合理的描述。

但是，当描述对象处于状态参量空间(P,V,T)中气液相变区（即正在发生气液转变）时，对于固定的温度，气相的压强恒为所在温度下的饱和蒸气压，即不再随体积V（严格地说应该是单位质量气体占用的体积，即比容）变化而变化，所以这种情况下范氏方程不再适用。

[编辑] 其他实际气体状态方程

维里方程

凯莫林·昂尼斯使用级数的形式修正真正气体与理想气体之间的差异，分为两种形式：

显压式： $pV_m=RT(1+B'p+C'p^2+D'p^3+\cdots)$
显容式： $pV_m=RT\left(1+\frac{B}{V_m}+\frac{C}{V_m^2}+\frac{D}{V_m^3}+\cdots\right)$

其中的B、C、D……与B'、C'、D'……都是第一、第二、第三维里常数。它们都是温度的函数，与气体的本性有关。

R-K方程

R-K方程（Redlich-Kwong方程）是目前公认最准确的双常数气体状态方程。

数学方程式为： $\left[p+\frac{a}{T^\frac{1}{2}V_m(V_m+b)}\right](V_m-b)=RT$

其中：

$a=0.4278\frac{R^2T^\frac{5}{2}_c}{P_c}$
$b=0.0867\frac{RT_c}{P_c}$

它适用的压力、温度范围较广，较适用于烃类等非极性气体。

B-W-R方程

B-W-R方程（Benedict-Webb-Rubin方程）是一个8参数方程：

$p=\frac{RT}{V_m}+\left(B_0RT-A_0-\frac{C_0}{T^2}\right)\frac{1}{V^2}+(bRT-a)\frac{1}{V_3^3}+\frac{a}{V_m^6}+\frac{c}{T^2V_m^3}\left(1+\frac{\gamma}{V_m^2}\right)e^{-\frac{\gamma}{V_m^2}}$

这个方程式比较适合于碳氢化合物及其混合物的计算，且不仅限于气相，还可用于液相。

贝蒂-布里兹曼方程

贝蒂-布里兹曼方程是一个五常数方程：

$p=\frac{(1-\gamma)RT(V_m-\beta)-\alpha}{V_m^2}$

其中：

$\alpha=a_0\left(1+\frac{a}{V_m}\right)$
$\beta=b_0\left(1-\frac{b}{V_m}\right)$
$\gamma=\frac{c_0}{V_mT^3}$

其中的 $a 0, b 0, c 0$ 以及a、b均为常数。

这个方程虽然比较准确，但常数较多，应用较麻烦。

卢嘉锡-田绍武方程

1955年，中国科学院院士卢嘉锡和他的学生田绍武提出一个含3个参数的气体方程：

$p=\left[\frac{RT}{V_m}\left(1+\frac{b}{V_m}+\frac{5b^2}{8V_m^2}\right)-\frac{a}{V_m^2}\right]\left(1-\frac{ce^{\frac{a}{bRT}}}{V_m}\right)$

其中a和b还是范氏常数，而他们引入了新的常数c，它可以从临界参数得到。

这个方程式基本上克服了范德瓦耳斯方程在临界点附近的偏差，在高压下仍能比较完美的描述临界点附近气态密度的变化，扩大了范德瓦耳斯方程的应用范围。

[编辑] 注释

↑ 几个参数为：
p为理想气体的压力，单位通常为atm或kPa；
V为理想气体的体积，单位为L或称dm³；
n为理想气体中气体物质的量，单位为mol；
R为理想气体常数或称摩尔气体常数、普适气体恒量，约为 $0.082 {atm}\cdot{L}\cdot{mol}^{-1}\cdot{K}^{-1}$ 或 $8.31{kPa}\cdot{dm}^3\cdot{mol}^{-1}\cdot{K}^{-1}$ ，更多值参见理想气体常数；
T为理想气体的温度，单位为K
↑ 在所有气体当中，构成粒子中最小的，氢气仅次之。
↑ 氦还是唯一不能在标准大气压下固化的物质。
↑ 约合739mm
↑ atm为标准大气压，1atm=101.3 kPa
↑ 当时查理认为是膨胀 $\frac{1}{267}$ ，1847年法国化学家雷诺将其修正为 $\frac{1}{273.15}$ 。
↑ 其實查理早就發現壓力與溫度的關係，只是當時未發表，也未被人注意。直到盖-呂薩克從新提出後，才受到重視。早年都稱“查理定律”，但為表彰盖-呂薩克的貢獻而稱為“查理-盖呂薩克定律”。
↑ 如二氧化碳在40℃、52 MPa时，Z≈1

[编辑] 参考资料

华彤文、陈景祖等。普通化学原理[M]。第第3版版。北京大学出版社，2005年：9-23。ISBN 7-301-09213。
厦门大学化学化工学院物化教研室。气体的pVT方程。2005年7月17日：6-8。[1]。

[编辑] 参看

参数和常量

物质的量
压力
温度
体积
理想气体常数（或称摩尔气体常数、普适气体恒量）

基础定律

使用到该方程的定律

阿佛加德罗定律
气体分压定律（或称道尔顿分压定律）

相关理论和定律

气体化合体积定律
气体扩散定律
气体分子运动论

真实气体的状态方程

范德瓦耳斯方程
维里方程
R-K方程（Redlich-Kwong方程）
B-W-R方程（Benedict-Webb-Rubin方程）
贝蒂-布里兹曼方程
卢嘉锡-田绍武方程

[编辑] 外部链接

理想气体状态方程-高二教案
- 理想气体状态方程（1）
- 理想气体状态方程（2）
理想氣體方程式（繁体）
電腦實驗（繁体）

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