Talk:直线
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== 欧氏几何中，两点确定一条直线怎么证？ == from Wikipedia:互助客栈/其他
换言之，过两点为什么不能作两条以上的直线，也不会出现一条直线也不能作的情况？
谢了。
--Whw 06:33 2006年5月19日 (UTC)
谢谢诸位帮助。
可是我看了歐幾里得幾何条目，文中所描述的第一条公理只肯定了我的问题的后半部分，却没有回答“过两点为什么不能作两条以上的直线”呀？
- 大致是这样的，不严密：
- 直线为两点间最短的连线：若直线a、b均为连接点A、B的直线，则A、B在a上的距离a(A, B)小于等于A、B在b上的距离b(A, B)；同理b(A, B)小于等于a(A, B)，就得到了a、b为同一条直线。
- --Isnow 14:22 2006年5月19日 (UTC)
另外，如何证明三点确定一个平面呢？难道又是立体几何的公理吗？--Whw 11:27 2006年5月19日 (UTC)
- 相異三點可決定一平面用反證法就可以得證，只要引導出違反公理的結論即可。--
百楽兎 15:38 2006年5月19日 (UTC)
- 事實上，這些都可以是公理，也可以是定理。這取決於你選擇哪些命題作爲公理了。根據選擇的公理不同，你的命題就會有不同的證明方法。--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 18:18 2006年5月19日 (UTC)
- 同意地球发动机的看法。--Ross 20:34 2006年5月19日 (UTC)
- 不行吧。公理是不證自明的原則，定理是可以利用公理來證明的。把定理當做公理會違背邏輯，因為推導出的系統只是一個子系，意即還是屬於同一個架構下。--百楽兎 02:35 2006年5月20日 (UTC)
- 現代元數學認爲，沒有什麽不証自明的原則。公理系統裏面的公理只是從大量的命題中選擇出一些作爲我們推理的基礎而已。如果把定理作爲公理而取消原先的某條公理，常常會導致公理系統被減弱，這些變化在模型論裏面是主要研究的對象。參見選擇公理、連續統假設--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 03:33 2006年5月20日 (UTC)
- 不是很了解你的意思，不過感覺我們是在講不同的兩回事。像這題，既然前提是“在歐氏幾何的架構”下，就不可能去推翻歐氏幾何所定下的公理吧。--百楽兎 06:06 2006年5月20日 (UTC)
- 简单讲，地球兄的意思就是同样“歐氏幾何的架構”可以有不同的定义，可以挑选不同的命题作为基本公理集。所谓公理无非就是被挑选为基本假设的命题。每个体系都可以有无数的选择，譬如，a,b,c都是这个系统中的命题，如果a等价于b等价于c,那么公理集{x,y,a}和{x,y,b}和{x,y,c}都是导出同一体系的，但在第一种情况a就是公理，b,c是定理，而第二种，b是公理,a,c是定理--Ross 21:40 2006年5月20日 (UTC)
- 這個邏輯和我是一致的，但問題是公理a會等價於定理b或c嗎？通常定理是用到兩個以上的公理所推導出來的，所以並不等價。雖然以宏觀的角度來看，將所有的命題都視為可選擇的公理是合理的，但是如果深入研究某公理後發現該公理可拆解出幾個更基本的原則，此時該公理就降階為定理，而更基本的原則就成了同一系統中的公理。我們好像離題越來越遠了……(汗)--百楽兎 01:35 2006年5月21日 (UTC)
- 這個邏輯和我是一致的，但問題是公理a會等價於定理b或c嗎？通常定理是用到兩個以上的公理所推導出來的，所以並不等價。雖然以宏觀的角度來看，將所有的命題都視為可選擇的公理是合理的，但是如果深入研究某公理後發現該公理可拆解出幾個更基本的原則，此時該公理就降階為定理，而更基本的原則就成了同一系統中的公理。我們好像離題越來越遠了……(汗)--
- 简单讲，地球兄的意思就是同样“歐氏幾何的架構”可以有不同的定义，可以挑选不同的命题作为基本公理集。所谓公理无非就是被挑选为基本假设的命题。每个体系都可以有无数的选择，譬如，a,b,c都是这个系统中的命题，如果a等价于b等价于c,那么公理集{x,y,a}和{x,y,b}和{x,y,c}都是导出同一体系的，但在第一种情况a就是公理，b,c是定理，而第二种，b是公理,a,c是定理--Ross 21:40 2006年5月20日 (UTC)
- 不是很了解你的意思，不過感覺我們是在講不同的兩回事。像這題，既然前提是“在歐氏幾何的架構”下，就不可能去推翻歐氏幾何所定下的公理吧。--
- 現代元數學認爲，沒有什麽不証自明的原則。公理系統裏面的公理只是從大量的命題中選擇出一些作爲我們推理的基礎而已。如果把定理作爲公理而取消原先的某條公理，常常會導致公理系統被減弱，這些變化在模型論裏面是主要研究的對象。參見選擇公理、連續統假設--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 03:33 2006年5月20日 (UTC)
- 不行吧。公理是不證自明的原則，定理是可以利用公理來證明的。把定理當做公理會違背邏輯，因為推導出的系統只是一個子系，意即還是屬於同一個架構下。--
- 同意地球发动机的看法。--Ross 20:34 2006年5月19日 (UTC)
- 事實上，這些都可以是公理，也可以是定理。這取決於你選擇哪些命題作爲公理了。根據選擇的公理不同，你的命題就會有不同的證明方法。--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 18:18 2006年5月19日 (UTC)
- 公理說"任意兩個點可以通過一條直線連接。", 這沒有錯阿,公理沒有說過"过两点为什么不能作两条以上的直线"這回事...2個點只會有1條直線,沒有人說過超過2個點會怎麼怎麼的,公理說的是"兩點確定一條直線",所以你問題的"過兩點"巳經不在公理的範疇內了!--Onsf 20:13 2006年5月27日 (UTC)
