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矩形函数 - Wikipedia

矩形函数

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矩形函数

矩形函数的定义为，

$\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \end{cases}$

也可以将它定义为 $\mathrm{rect}(\pm 1/2)$ 的值为 0、1 或者未定义的值，另外也可以用 Heaviside阶梯函数 $u (t)$ 来定义：

$\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$

或者，

$\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)$

矩形函数归一化：

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1$

矩形函数的unitary Fourier transforms，

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$ ,

用归一化Sinc函数表示为，

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt = \mathrm{sinc}(f)$

我们可以将三角函数定义为两个矩形函数的卷积：

tri(t) = rect(t) * rect(t)

如果将矩形函数当作一个概率分布函数，那么它的特征函数是，

$\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,$

并且它的动差生成函数为，

$M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,$

其中 $sinh(t)$ 是双曲正弦函数。

[编辑] 参见

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E7%9F%A9/%E5%BD%A2/%E5%87%BD/%E7%9F%A9%E5%BD%A2%E5%87%BD%E6%95%B0.html”

页面分类: 基本特殊函数

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